决策树基础 - 技术栈

概述

决策树是一种树型结构，其中每个内部结点表示在一个属性上的测试，每个分支代表一个测试输出，每个叶结点代表一种类别。
决策树学习采用的是自顶向下的递归方法，其基本思想是以信息熵为度量构造一棵熵值下降最快的树，到叶子节点处的熵值为零，此时每个叶节点中的实例都属于同一类。

模型 : 特征树决定的空间划分

策略：不确定信息"度量"最小

算法：以不同的指标选择最优特征进行空间划分，直到满足停止条件

ID3 （信息增益）、C4.5 （信息增益比）、CART （二叉树、分类与回归、Gini指数）

流程：

特征选择：决策树在每个节点上选择最佳特征进行分割，这个特征能够最好地区分数据。
树的增长：通过递归地选择特征并分割数据，直到满足停止条件，如达到最大深度或叶节点中的样本数量小于某个阈值。
剪枝：为了防止过拟合，决策树需要剪枝，即去除一些不必要的分支。

算法

（1） ID3

使用信息增益作为选择特征的标准，它倾向于选择具有最高信息增益的特征进行分割。

1.1 熵

日常生活中，当我们要搞清楚某件事情时，这件事情的不确定性越大，我们需要了解的信息就越多。由此可以看出，一条信息的信息量大小和它的不确定性有直接关系。受此启发，人们就拿不确定性这个量来度量信息量的大小。在信息论或概率统计中，用熵度量随机变量的不确定性。熵值越大，随机变量的不确定性就越大。

定义随机变量X的概率分布为p(x)，从而定义X信息量：

对离散型随机事件X的信息量求期望，得熵的定义：

注：经典熵的定义，底数是2，单位是bit；

若底数是e，单位是nat(奈特)。

1.2 信息增益

联合熵：

条件熵为：

信息增益概念：当熵和条件熵中的概率由数据估计(特别是极大似然估计)得到时，所对应的熵和条件熵分别称为经验熵和经验条件熵。

信息增益表示：得知特征A的信息而使得类X的信息的不确定性减少的程度。

信息增益定义：特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差，即：

选择信息增益最大的特征作为当前的分裂特征（根节点）。

其中，数据集D的经验熵为：

信息增益的缺点：特征的类别越多，其信息增益越大，越容易形成分裂特征，造成决策树宽且浅。

（2）C4.5

使用信息增益比（率）来选择特征，以避免偏向于具有更多值的特征

2.1 信息增益比

用信息增益作为划分训练集特征的标准时，有一个潜在的问题，那就是相比之其会倾向于选择类别取值较多的特征。因此人们提出使用信息增益比(Information Gain Ratio)来对这一问题进行校正。

特征X对训练集的信息增益比定义为特征X的信息增益g(Y,X)与特征X的取值的熵 H(X) 的比值，记为,即

（3）CART（Classification and Regression Trees）

既可以用于分类也可以用于回归任务。使用Gini系数求解分类问题；使用平方误差最小求解回归问题。

3.1 基尼系数------分类树：目标变量是离散型

基尼系数(Gini) 可以用来度量任何不均匀分布，且介于 0~1 之间的数 (0指完全相等，1指完全不相等)。分类度量时，总体包含的类别越杂乱，基尼系数就越大 (与熵的概念相似)。基尼指数主要用来度量数据集的不纯度。基尼指数越小，表明样本只属于同一类的概率越高，即样本的纯净度越高。

分类问题中，假设有k个类，样本点属于k的概率Pk，则概率分布的基尼指数：

对给定的样本集合D，基尼指数：

Gini系数的图像、熵、分类误差率三者之间的关系如下：

说明:Gini系数越小越好。

3.2 平方误差最小------回归树：目标变量是连续型

对于含有M个样本、每个样本的特征维度为N的训练数据集D，遍历样本的特征变量Fn，n=1,2...M,对每一个特征变量Fn，扫描所有可能的K个样本切分点Sk, k = 1,2, ..., K，样本切分点Sk每次将数据集D划分为D1和D2两个子集.我们的目标是选出划分点Sk，使得D1和D2各自集合的标准差最小，同时D1和D2的标准差之和也最小，写为数学表达式为：

其中， c1为数据集中所有样本的输出均值，yi是D1数据子集中各样本的实际值，c2为D2数据集中所有样本的输出均值，yj是D2数据子集中各样本的实际值。

CART回归树的过程：

总结

一个属性的信息增益(率)大/Gini指数越小 ，表明属性对样本的熵减少的能力更强，这个属性使得数据由不确定性变成确定性的能力越强。

优点：

易于理解和解释：决策树的结构类似于流程图，可以直观地展示数据是如何被分割的，以及如何根据特征做出决策。
数据要求不高：决策树可以处理数值型和类别型数据，不需要复杂的数据预处理。
特征重要性评估：可以识别哪些特征对分类结果影响最大，提供特征重要性的信息。
处理缺失值：一些算法可以在构建树的过程中处理缺失值。
非线性：决策树可以捕捉数据中的非线性关系。
多类问题：决策树可以用于多类分类问题。
可视化：可以轻松地将决策树可视化，有助于理解模型的决策过程。

缺点：

容易过拟合：决策树容易生长成过于复杂的树，这可能导致模型在训练数据上表现良好，但在未见数据上表现差。
对噪声敏感：如果训练数据中包含噪声，决策树可能会学习到错误的规则。
对特征规模敏感：如果特征数量很多，尤其是当特征之间存在高度相关性时，决策树的性能可能会受到影响。
树的构建依赖于数据集：不同的数据集可能导致生成不同的树结构，这可能导致模型的泛化能力下降。
忽略特征间的交互：决策树通常不考虑特征之间的交互作用，这可能限制了模型的表达能力。
需要剪枝：为了防止过拟合，通常需要进行剪枝处理，这增加了模型构建的复杂性。（文中没有提及）
不稳定：小的变化在训练数据中可能会导致生成完全不同的树。
对类别不平衡不敏感：决策树在类别不平衡的数据集中可能表现不佳，因为它倾向于为多数类创建更多的分支。
基尼不纯度或信息增益的局限性：这些指标可能不会总是导致最优的分割，特别是在具有不同分布的数据集中。

图片来源：《机器学习基础：从入门到求职》胡欢武