2435. 矩阵中和能被 K 整除的路径(leetcode)

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写在前面
题目来源
思路
code

写在前面

看题解看了半天都看不懂，看了视频也看了好久······，最后还是自己手动模拟才懂的，大佬们写的代码非常好，自己根本想不到该如何用代码实现出来，还是得多刷题，多见一些新题型

题目来源

这里~~~~~~~QWQ

思路

考点：DP+三维数组

这里用到三维是因为坐标需要二维来建立，另外每个坐标还需要存储路径的数量 ，因此必须多开一维

既然是整除的题目，那必然跟取模有很大关系，例如 14 + 4 对 3 取模 14+4对3取模 14+4对3取模我们可以看成 14 % 3 + 4 % 3 = ( 2 + 1 ) % 3 = 0 14\%3+4\%3=(2+1)\%3=0 14%3+4%3=(2+1)%3=0

首先定义 f $i$ $j$ $v$ 表示从左上走到 ( i , j ) ，且路径和模 k 的结果为 v 时的路径数 f $i$ $j$ $v$ 表示从左上走到 (i,j)，且路径和模 k 的结果为 v 时的路径数 f $i$ $j$ $v$ 表示从左上走到(i,j)，且路径和模k的结果为v时的路径数

先看样例：(k=3)

那么路径和取模3为：

2 1 2
2 (2,1) (0,1,1)
2 (0,0,2) (0,0,1,2,2,2)

首先先定义边界， f $0$ $0$ $2$ = 1 , 至于 f $0$ $0$ $0$ 和 f $0$ $0$ $1$ 肯定为 0 f $0$ $0$ $2$ =1,至于f $0$ $0$ $0$ 和f $0$ $0$ $1$ 肯定为0 f $0$ $0$ $2$ =1,至于f $0$ $0$ $0$ 和f $0$ $0$ $1$ 肯定为0

然后 f $0$ $1$ $1$ = 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ，先看 f $1$ $1$ 这个点，每个点只跟上边的点和左边的点有关，由于 g r i d $i$ $j$ = 0 , 那么加上左边和上边的路径和分别为 1 ， 2 ，所以 f $1$ $1$ $1$ = f $1$ $1$ $2$ = 1 , 后面同理，最后算的是 f $m - 1$ $n - 1$ $0$ , 算出最后可以被 3 整除的路径数量 f $0$ $1$ $1$ =1······，先看f $1$ $1$ 这个点，每个点只跟上边的点和左边的点有关，由于grid $i$ $j$ =0,那么加上左边和上边的路径和分别为1，2，所以f $1$ $1$ $1$ =f $1$ $1$ $2$ =1,后面同理，最后算的是f $m-1$ $n-1$ $0$ ,算出最后可以被3整除的路径数量 f $0$ $1$ $1$ =1⋅⋅⋅⋅⋅⋅，先看f $1$ $1$ 这个点，每个点只跟上边的点和左边的点有关，由于grid $i$ $j$ =0,那么加上左边和上边的路径和分别为1，2，所以f $1$ $1$ $1$ =f $1$ $1$ $2$ =1,后面同理，最后算的是f $m-1$ $n-1$ $0$ ,算出最后可以被3整除的路径数量

模拟如此，代码如何实现呢？

参考模拟，状态转移方程就为：
f $i + 1$ $j + 1$ $v$ = ( f $i + 1$ $j$ $( v + k − g r i d \[ i$ $j$ % k ) % k ] + f $i$ $j + 1$ $( v + k − g r i d \[ i$ $j$ % k ) % k ] ) ] % m o d f $i+1$ $j+1$ $v$ =(f $i+1$ $j$ $(v+k-grid\[i$ $j$ \%k)\%k]+f $i$ $j+1$ $(v+k-grid\[i$ $j$ \%k)\%k])]\%mod f $i+1$ $j+1$ $v$ =(f $i+1$ $j$ $(v+k−grid\[i$ $j$ %k)%k]+f $i$ $j+1$ $(v+k−grid\[i$ $j$ %k)%k])]%mod

首先，防止下标越界，让 i 和 j i和j i和j都+1
f $i + 1$ $j + 1$ $v$ 为路径和模 k 的结果为 v 时的路径数 f $i+1$ $j+1$ $v$ 为路径和模 k 的结果为 v 时的路径数 f $i+1$ $j+1$ $v$ 为路径和模k的结果为v时的路径数
( v + k − g r i d $i$ $j$ % k ) % k 本质上是 v − g r i d $i$ $j$ ，即当前 v 的状态由上边以及左边 v − g r i d $i$ $j$ 状态而来 (v+k-grid $i$ $j$ \%k)\%k本质上是v-grid $i$ $j$ ，即当前v的状态由上边以及左边v-grid $i$ $j$ 状态而来 (v+k−grid $i$ $j$ %k)%k本质上是v−grid $i$ $j$ ，即当前v的状态由上边以及左边v−grid $i$ $j$ 状态而来
至于取模k的操作就是防止下标越界

接下来看代码

code

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numberOfPaths(vector<vector<int>>& grid, int k) {
        int m=grid.size(),n=grid[0].size();
        int mod=1e9+7;
        int f[m+1][n+1][k];
        memset(f,0,sizeof f);
        f[1][0][0]=1;//初始化
        for(int i=0;i<m;++i)
           for(int j=0;j<n;++j)
              for(int v=0;v<k;++v){
                f[i+1][j+1][v]=(f[i+1][j][(v+k-grid[i][j]%k)%k]+f[i][j+1][(v+k-grid[i][j]%k)%k])%mod;
              }
        return f[m][n][0];
    }
};

制作不易，点个赞吧QVQ