RMQ(Range Maximum/Minimum Query)

定义

指的是在一个序列中多次进行静态区间求最值。

算法原理

倍增思想。

实现

分为两部分：预处理和询问（S 组算法里最长的预处理）。

first part：预处理

维护 dp_{i,j}dpi,j 表示以下标 ii 为起点，跨度为 2^j2j 的最大值。

状态转移：dp_{i,j}=\max(dp_{i,j-1},dp_{i+2^{j-1},j-1})dpi,j=max(dpi,j−1,dpi+2j−1,j−1)

初始状态：dp_{i,0}=a_idpi,0=ai。

维护 lg_ilgi 表示 ii 取以 22 为底的对数向下取整。lg_i=-1lgi=−1，lg_i=lg_{i>>1}+1lgi=lgi>>1+1。

second part：询问

对于 [l,r][l,r] 的询问，一定能找到 22 的幂超过 r-l+1r−l+1 的一半。

求覆盖区间一半以上的幂，p=lg_{r-l+1}p=lgr−l+1。

\max(dp_{l,p},dp_{r-2^p+1,p})max(dpl,p,dpr−2p+1,p) 即为答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int dp[100005][20], a[100005], n, m, lg[100005];
void init()
{
	lg[0]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp[i][0]=a[i];
		lg[i]=lg[i>>1]+1;
	}
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
	{
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
		{
			dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]);
		}
	}
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	init();
	while(m--)
	{
		int l, r;
		cin>>l>>r;
		int mi=lg[r-l+1];
		cout<<max(dp[l][mi],dp[r-(1<<mi)+1][mi])<<"\n";
	}
}

例题

First：P2048 超级钢琴

温馨提示：本题不适合初学者阅读并尝试，同时我不会放代码（因为紫题）。

题意

给定 nn 个元素，选 kk 个不完全重复区间，区间长度在 [L,R][L,R] 内，求 kk 次选取区间和所得的最大值。

先考虑简化版 k=1 时

维护 sum_isumi 表示前缀和。维护 dp_{i,j}dpi,j 表示以 ii 为起点跨度为 2^j2j 的区间内最大的前缀和。

循环枚举区间起点 ii，在 [i+L-1,\min(n,i+R-1)][i+L−1,min(n,i+R−1)] 询问最大前缀和，维护 \max(sum_i-sum_{i-1})max(sumi−sumi−1)

分析

现在来考虑 k \le 500000k≤500000 的情况。

考虑优先队列维护前 kk 大的区间和，问题是起点 jj 贡献的区间可能不止一个。

维护 pos_{i,j}posi,j 表示 dp_{i,j}dpi,j 在序列中所在的下标，pos_{i,0}=iposi,0=i。

当 dp_{i,j-1} > dp_{i+2^{j-1},j-1}dpi,j−1>dpi+2j−1,j−1 时，pos_{i,j}=pos_{i,j-1}posi,j=posi,j−1。

否则，pos_{i,j}=pos_{i+2^{j-1},j-1}posi,j=posi+2j−1,j−1。

对于以 ii 为起点的最大区间和，可借助 pospos 数组找到终点 jj，然后在区间 [i+L-1,j-1][i+L−1,j−1] 和区间 [j+1,i+R-1][j+1,i+R−1] 内再次寻找 22 个最大区间和对应的 j1,j2j1,j2，插入优先队列。

循环从优先队列中取 kk 个区间，每取 11 次，将被取出的区间终点 jj 一分为二，重复 kk 次，最后求和即为答案。

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