动态规划之斐波那契数列

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种算法策略，用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。

问题描述

斐波那契数列是一个每一项都是前两项和的序列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

动态规划解法

使用递归方法解决斐波那契数列问题会有很多重复计算，而动态规划通过存储中间结果来避免这种情况。

样例

计算斐波那契数列的第 n 项。

javascript 复制代码

// 动态规划求解斐波那契数列
function fibonacci(n) {
  // 创建一个数组来存储斐波那契数列的中间结果
  let fib = new Array(n + 1);

  // 初始值
  fib[0] = 0;
  fib[1] = 1;

  // 计算斐波那契数列的值
  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
  }

  // 返回第 n 项
  return fib[n];
}

// 示例：计算斐波那契数列的第 10 项
console.log(fibonacci(10)); // 输出 55

解释

我们创建了一个数组 fib 来存储已经计算过的斐波那契数列的值。

我们从第 2 项开始，使用 fib $i - 1$ + fib $i - 2$ 来计算当前项，这样避免了递归中的重复计算。

最终，fib $n$ 存储的就是斐波那契数列的第 n 项。

优化空间复杂度

上述解法的空间复杂度为 O(n)，我们可以通过只存储前两个值来优化到 O(1)。

优化后的代码

javascript 复制代码

function fibonacciOptimized(n) {
  if (n <= 1) return n;

  let prev = 0;
  let current = 1;

  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    let temp = current;
    current = prev + current;
    prev = temp;
  }

  return current;
}

// 示例：计算斐波那契数列的第 10 项
console.log(fibonacciOptimized(10)); // 输出 55

解释

我们使用两个变量 prev 和 current 来存储前两个斐波那契数。

在每次迭代中，我们更新这两个变量的值为新的斐波那契数。

这种方法只需要常数级别的空间。

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