一、Tarjan算法简介
Tarjan算法是一种由美国计算机科学家罗伯特·塔杨（Robert Tarjan）提出的求解有向图强连通分量的线性时间的算法。
二、强连通分量的概念
在有向图 G G G 中，如果任意两个不同的顶点相互可达，则称该有向图是强连通的。
如图1所示，图"郓城武安张"就是一个强连通图。
图1
如果在强连通图 G G G 中进行加边操作得到有向图 G ′ G' G′，那么我们称原图 G G G 是 G ′ G' G′ 的一个强连通分量。
如图2所示，图"郓城武安张"、图"同"和图"学"都是图"郓城武安张同学"的一个强连通分量。
图2
三、初识Tarjan算法
Tarjan算法本质上是基于深度优先搜索的一种算法。
在使用Tarjan算法时，需要用到两个辅助数组：
d n f x dnf_x dnfx：记录每个点被发现时的时刻。
l o w x low_x lowx：表示以顶点x为根的子树中所有顶连出的边能到达的最早的能到达x的顶。
通俗一点，对于图2中的图，为了应对汉字无法作为下标的问题，我们简化一下，得到下面的图3。
图3
假定 1 1 1 号结点为搜索起点，那么我们将有：
- d n f i = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } dnf_i=\{1,2,3,4,5,6,7\} dnfi={1,2,3,4,5,6,7}
- l o w i = { 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 6 , 7 } low_i=\{1,1,1,1,1,6,7\} lowi={1,1,1,1,1,6,7}
如果对上面的描述有疑惑，请往下看。
四、模拟Tarjan算法
我们继续看上面的图3，并对它进行模拟（假定 1 1 1 号结点为搜索起点），深入地了解Tarjan算法。
为了帮助理解，求图3中的有向图以 1 1 1 号结点为根的最小生成树，如图4。
图4
会发现，这棵树是一条链的结构。
- 初始化： d n f i = 0 dnf_i=0 dnfi=0，对于每一步， l o w i = d n f i low_i=dnf_i lowi=dnfi；
- 从 1 1 1 号结点进入程序，并将其入栈，将 d n f 1 dnf_1 dnf1 的值赋为 1 1 1；
栈： 1 1 1 - 1 1 1 号结点可以直接到达 2 2 2 号结点，且 d n f 2 = 0 dnf_2=0 dnf2=0，将 2 2 2 号结点入栈，并将将 d n f 2 dnf_2 dnf2 的值赋为 2 2 2；
栈： 1 2 1~2 1 2 - 2 2 2 号结点可以直接到达 3 3 3 号结点，且 d n f 3 = 0 dnf_3=0 dnf3=0，将 3 3 3 号结点入栈，并将将 d n f 3 dnf_3 dnf3 的值赋为 3 3 3；
栈： 1 2 3 1~2~3 1 2 3 - 3 3 3 号结点可以直接到达 4 4 4 号结点，且 d n f 4 = 0 dnf_4=0 dnf4=0，将 4 4 4 号结点入栈，并将将 d n f 4 dnf_4 dnf4 的值赋为 4 4 4；
栈： 1 2 3 4 1~2~3~4 1 2 3 4 - 4 4 4 号结点可以直接到达 5 5 5 号结点，且 d n f 5 = 0 dnf_5=0 dnf5=0，将 5 5 5 号结点入栈，并将将 d n f 5 dnf_5 dnf5 的值赋为 5 5 5；（注意啦，下一步是重点！）
栈： 1 2 3 4 5 1~2~3~4~5 1 2 3 4 5 - 5 5 5 号结点可以直接到达 1 1 1 号和 6 6 6 号两个结点，按字典序先遍历 1 1 1 号结点，因为 d n f 1 = 1 ≠ 0 dnf_1=1\neq0 dnf1=1=0，此时我们需要进行出栈操作；
栈： 1 2 3 4 5 1~2~3~4~5 1 2 3 4 5 - 将栈顶 l o w 5 low_5 low5 的值赋值为 min ( l o w 5 , d n f 1 ) = 1 \min(low_5,dnf_1)=1 min(low5,dnf1)=1，并将 5 5 5 出栈，将栈顶 l o w 4 low_4 low4 的值赋值为 min ( l o w 4 , d n f 5 ) = 1 \min(low_4,dnf_5)=1 min(low4,dnf5)=1，并将 4 4 4 出栈；
- 依此类推，直至 1 1 1 被出栈；
栈：空 - 从 5 5 5 号结点继续往下搜索， 5 5 5 号结点可以直接到达 6 6 6 号结点，且 d n f 6 = 0 dnf_6=0 dnf6=0，将 6 6 6 号结点入栈，并将将 d n f 6 dnf_6 dnf6 的值赋为 6 6 6；
栈： 6 6 6 - 6 6 6 号结点可以直接到达 7 7 7 号结点，且 d n f 7 = 0 dnf_7=0 dnf7=0，将 7 7 7 号结点入栈，并将将 d n f 7 dnf_7 dnf7 的值赋为 7 7 7；
栈： 6 7 6~7 6 7 - 7 7 7 号结点没有可以直接到达的结点，回溯（回溯过程省略）；
栈： 6 7 6~7 6 7 - 此时，整个图都已经被搜索完毕，但是栈中仍存在原神元素，说明栈中剩余的每个结点都自成一个强连通分量，我们只需依次出栈即可。
栈：空 - 最终得到第三部分所提及的两个数组。
代码：
cpp
void tarjan(int u){
int j;
dnf[u]=low[u]=++t;
st.push(u);
in_st[u]=1;
for(int i=head[u];i!=-1;i=nxt[i]){
j=e[i];
if(!dnf[j]){
tarjan(j);
low[u]=min(low[u],low[j]);
}
else if(in_st[j])low[u]=min(low[u],dnf[j]);
}
if(low[u]==dnf[u]){
int y;
do{
y=st.top();
st.pop();
in_stk[y]=0;
}while(y!=u);
}
return;
}如果博客有错误，请联系我，我会尽快修正！压力马斯内！