【Deep-ML系列】Pegasos Kernel SVM Implementation（手写支持向量机）

引言

支持向量机（SVM）是机器学习领域中一种非常强大的分类算法，广泛应用于各种分类任务。今天，我们将深入探讨SVM中的Pegasos算法及其与核函数的结合。通过代码示例和详细解释，我们将理解Pegasos算法如何逐步调整模型参数，从而优化分类器的性能。

Pegasos算法概述

Pegasos算法（Primal Estimated sub-GrAdient SOlver for SVM）是一种用于训练SVM的在线学习算法。与标准的SVM优化方法不同，Pegasos通过随机梯度下降（SGD）逐步更新模型参数，使得算法在处理大规模数据时更加高效。

在每次迭代中，Pegasos只对一个或一小部分样本进行参数更新，这与传统的批量梯度下降不同。这个特点使得Pegasos在处理大规模数据集时有明显的速度优势。

核函数的作用

核函数的引入是SVM的一个重要特性，使得它能够处理线性不可分的数据。核函数通过将原始数据映射到一个更高维度的空间，在这个空间中，数据可能变得线性可分。

我们讨论了两种常用的核函数：

线性核函数：直接计算两个样本的点积，适用于线性可分的数据。
RBF（径向基函数）核：计算两个样本的高斯距离，适用于非线性可分的数据。

代码解析

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import numpy as np


def linear_kernel(x, y):
    return np.dot(x, y)


def rbf_kernel(x, y, sigma=1.0):
    return np.exp(-np.linalg.norm(x - y) ** 2 / (2 * (sigma ** 2)))


def pegasos_kernel_svm(data, labels, kernel='linear', lambda_val=0.01, iterations=100, sigma=1.0):
    n_samples = len(data)
    alphas = np.zeros(n_samples)
    b = 0

    for t in range(1, iterations + 1):
        for i in range(n_samples):
            eta = 1.0 / (lambda_val * t)
            if kernel == 'linear':
                kernel_func = linear_kernel
            elif kernel == 'rbf':
                kernel_func = lambda x, y: rbf_kernel(x, y, sigma)

            decision = sum(alphas[j] * labels[j] * kernel_func(data[j], data[i]) for j in range(n_samples)) + b
            if labels[i] * decision < 1:
                alphas[i] += eta * (labels[i] - lambda_val * alphas[i])
                b += eta * labels[i]

    return np.round(alphas, 4).tolist(), np.round(b, 4)


if __name__ == '__main__':
    data = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 1], [4, 1]])
    labels = np.array([1, 1, -1, -1])
    kernel = 'rbf'
    lambda_val = 0.01
    iterations = 100
    print(pegasos_kernel_svm(data, labels, kernel, lambda_val, iterations))