设A是一个的矩阵，B是一个
的矩阵，
，
A和B的分块矩阵分别记为 和
，
证明.
证明：设
要证明，可以首先证AB和
是同型矩阵，即证明
是一个
的矩阵，接着再证
，可以把AB做一个与
同样的分块，然后证明相同位置的分块相等。关于矩阵分块，这里有几个结论，1）处于同一行的分块，它们包含的行数相同，2）处于同一列的分块它们包含的列数相同，3）两个可以相乘的分块矩阵，左边矩阵的第i列的分块包含的列数和右边矩阵的第i行的分块包含的行数相同，左边矩阵对行分块及右边矩阵对列分块没有什么限制。
我们先定义两个函数L和H，L用于获取矩阵分块包含的列数，H用于获取矩阵分块包含的行数，令 有
，同时令
,有
，并且有
，令
，有
，令
，有
。因为
，所以
，
，所以
是一个
的矩阵，所有与
在同一行的子块包含的行数都相同，所有与
在同一列的子块包含的列数都相同，所以
仍然是一个分块矩阵，
包含的行数为
， 包含的列数为
，所以
是一个
矩阵，即证明了
和AB是同型矩阵。
接下来证明。
把AB做与同样的分块，记为
只需证明
即可。
要证明，只要证明它们的同位置元素相等，也就是证明
，让我们来各自求这两个元素，看它们是否相等。
先求，先求
的行列号，
令为p，则
，
令为q，
，则
接下来求，
，所以
下面看如何计算，根据矩阵的乘法规律，它是用
的第u行乘以
的第v列得到，
的第u行为：
的第v列为：
别忘了有，于是
，
，因此
。
证明完毕。