矩阵分块乘法的证明

设A是一个的矩阵，B是一个的矩阵，

，

A和B的分块矩阵分别记为 和 ，

证明.

证明：设

要证明，可以首先证AB和是同型矩阵，即证明是一个的矩阵，接着再证，可以把AB做一个与同样的分块，然后证明相同位置的分块相等。关于矩阵分块，这里有几个结论，1）处于同一行的分块，它们包含的行数相同，2）处于同一列的分块它们包含的列数相同，3）两个可以相乘的分块矩阵，左边矩阵的第i列的分块包含的列数和右边矩阵的第i行的分块包含的行数相同，左边矩阵对行分块及右边矩阵对列分块没有什么限制。

我们先定义两个函数L和H，L用于获取矩阵分块包含的列数，H用于获取矩阵分块包含的行数，令 有，同时令,有，并且有，令，有 ，令，有。因为，所以，，所以是一个的矩阵，所有与在同一行的子块包含的行数都相同，所有与在同一列的子块包含的列数都相同，所以仍然是一个分块矩阵，包含的行数为， 包含的列数为，所以是一个矩阵，即证明了和AB是同型矩阵。

接下来证明。

把AB做与同样的分块，记为

只需证明即可。

要证明，只要证明它们的同位置元素相等，也就是证明，让我们来各自求这两个元素，看它们是否相等。

先求，先求的行列号，

令为p，则，

令为q，，则

接下来求，，所以

下面看如何计算，根据矩阵的乘法规律，它是用的第u行乘以的第v列得到，

的第u行为：

的第v列为：

别忘了有，于是，

，因此。

证明完毕。