矩阵分块乘法的证明

设A是一个的矩阵,B是一个的矩阵,

A和B的分块矩阵分别记为

证明.

证明:设

要证明,可以首先证AB和是同型矩阵,即证明是一个的矩阵,接着再证,可以把AB做一个与同样的分块,然后证明相同位置的分块相等。关于矩阵分块,这里有几个结论,1)处于同一行的分块,它们包含的行数相同,2)处于同一列的分块它们包含的列数相同,3)两个可以相乘的分块矩阵,左边矩阵的第i列的分块包含的列数和右边矩阵的第i行的分块包含的行数相同,左边矩阵对行分块及右边矩阵对列分块没有什么限制。

我们先定义两个函数L和H,L用于获取矩阵分块包含的列数,H用于获取矩阵分块包含的行数,令,同时令,有,并且有,令,有 ,令,有。因为,所以,所以是一个的矩阵,所有与在同一行的子块包含的行数都相同,所有与在同一列的子块包含的列数都相同,所以仍然是一个分块矩阵,包含的行数为, 包含的列数为,所以是一个矩阵,即证明了和AB是同型矩阵。

接下来证明

把AB做与同样的分块,记为

只需证明即可。

要证明,只要证明它们的同位置元素相等,也就是证明,让我们来各自求这两个元素,看它们是否相等。

先求,先求的行列号,

为p,则

为q,,则

接下来求,所以

下面看如何计算,根据矩阵的乘法规律,它是用的第u行乘以的第v列得到,

的第u行为:

的第v列为:

别忘了有,于是

,因此

证明完毕。

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