模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）是一种通用概率优化算法，用于在给定的大搜索空间内寻找问题的近似全局最优解。该算法灵感来源于物理学中固体物质的退火过程，其中温度逐渐降低，粒子逐渐趋于能量最低状态。
在MATLAB中实现模拟退火算法，我们首先需要定义目标函数（即我们需要最小化的能量或成本函数），然后设定算法的参数，如初始温度、降温速率、内循环次数（每个温度下的迭代次数）等。以下是一个简单的模拟退火算法实现示例，用于求解一维函数的最小值问题。
MATLAB 示例代码
假设我们要最小化函数 f(x)=x2 在区间 [−10,10] 内。
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| | function simulatedAnnealingDemo() |
| | % 目标函数 |
| | f = @(x) x^2; |
| | |
| | % 初始参数 |
| | x_current = 0; % 当前解 |
| | x_min = x_current; % 最小解 |
| | f_min = f(x_current); % 最小解对应的函数值 |
| | T = 100; % 初始温度 |
| | T_min = 1e-6; % 最低温度 |
| | alpha = 0.95; % 降温速率 |
| | maxIter = 100; % 每个温度下的最大迭代次数 |
| | |
| | % 模拟退火主循环 |
| | while T > T_min |
| | for i = 1:maxIter |
| | % 生成新解 |
| | x_new = x_current + randn() * T; % 以当前解为中心，T为标准差生成新解 |
| | x_new = max(min(x_new, 10), -10); % 保持在定义域内 |
| | |
| | % 计算新解的函数值 |
| | f_new = f(x_new); |
| | |
| | % 接受准则（Metropolis准则） |
| | if f_new < f_min |
| | x_current = x_new; |
| | f_min = f_new; |
| | elseif exp((f_min - f_new) / T) > rand() |
| | x_current = x_new; |
| | end |
| | end |
| | |
| | % 降温 |
| | T = T * alpha; |
| | |
| | % 显示当前最优解 |
| | fprintf('T = %.4f, f_min = %.4f, x_min = %.4f\n', T, f_min, x_min); |
| | end |
| | |
| | % 显示最终结果 |
| | disp(['最终解: x_min = ', num2str(x_min), ', f_min = ', num2str(f_min)]); |
| | end |
说明
- 目标函数：这里我们定义了一个简单的平方函数 f(x)=x2。
- 初始参数：包括初始解、初始温度、最低温度、降温速率和每个温度下的迭代次数。
- 新解生成：通过在当前解的基础上加上一个与温度成正比的随机数来生成新解，确保新解在定义域内。
- 接受准则：如果新解的函数值小于当前最小函数值，则接受新解；否则，以一定概率接受新解，这个概率与温度和新旧解的函数值差有关。
- 降温：每次内循环结束后，温度按一定速率降低。
- 输出结果：在每个温度结束时，以及算法结束时，输出当前找到的最小值和对应的解。