hello树先生——AVL树

AVL树

一.什么是AVL树
二.AVL树的结构
三.平衡测试

一.什么是AVL树

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树的性质：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)

二.AVL树的结构

1.AVL树的节点结构

cpp 复制代码

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode* _left;
	AVLTreeNode* _right;
	AVLTreeNode* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr),
		_right(nullptr),
		_parent(nullptr),
		_kv(kv),
		_bf(0)
	{}
};

这里的数据存储使用pair类型的数据对，将key索引与对应数据value存储，增加了_parent保存父亲节点，增加了_bf平衡因子来衡量左右子树是否平衡。

2.插入函数

cpp 复制代码

bool insert(const pair<K, V>& kv)

这里插入方式与搜索二叉树一致，只是在后面增加了平衡调整的步骤

cpp 复制代码

//如果根为空
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new node(kv);
			return true;
		}

		//找到目标值
		node* parent = nullptr;
		node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			//key < cur
			if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				//查重
				return false;
			}
		}

		//插入目标值
		cur = new node(kv);

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

调节平衡因子

cpp 复制代码

while(parent)
{
//向上更新
}

如果插在左子树，则平衡因子--，否则++

cpp 复制代码

			if (parent->_left == cur)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

判断平衡因子是否正常倘若>=2则需要旋转

cpp 复制代码

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if(parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
			{
				//向上调整
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
			{
				//需要旋转
				//左左高，右单旋
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					rotater(parent);
				}
				//右右高，左单旋
				else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					rotatel(parent);
				}
				//右左高，先右旋成为右右高,再左旋
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					rotaterl(parent);
				}
				else
				{
					rotatelr(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				//大问题
				assert(false);
			}

3.旋转调整

AVL树的旋转分为四种，左单旋，右单旋，左右双旋和右左双旋。

1.右单旋

cpp 复制代码

	void rotater(node* parent)

当插入new节点时，60节点会左右失衡，我们称60为parent，30为subl,则平衡因子会分别变为-2，-1，成为左左高模型，此时使用右单旋。

由于搜索树特性：30<b<60<c,所以可以将右方降下去，从而达到平衡。

传入旋转点parent
记录关键节点，防止旋转后丢失

cpp 复制代码

		node* subl = parent->_left;
		node* sublr = subl->_right;

将parent的左指向sublr,若sublr为空节点，则不链接父亲节点否则链接
将subl的右指向parent,同时链接父亲节点

cpp 复制代码

		parent->_left = sublr;
		if (sublr)
			sublr->_parent = parent;

		subl->_right = parent;
		parent->_parent = subl;
		//保存父节点
		node* ppnode = parent->_parent;
		subl->_parent = ppnode;

考虑parent是否为根，是否链接parent的父亲节点

cpp 复制代码

		//考虑parent是否为根
		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subl;
			subl->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subl->_parent = ppnode;
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subl;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subl;
			}
		}

修改平衡因子

cpp 复制代码

parent->_bf = subl->_bf = 0;

2.左单旋

大体思路与右单旋相同

cpp 复制代码

	void rotatel(node* parent)
	{
		node* subr = parent->_right;
		node* subrl = subr->_left;

		parent->_right = subrl;
		if (subrl)
			subrl->_parent = parent;

		subr->_left = parent;
		//保存父节点
		node* ppnode = parent->_parent;
		parent->_parent = subr;
		subr->_parent = ppnode;

		//考虑parent是否为根
		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subr;
			subr->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subr->_parent = ppnode;
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subr;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subr;
			}
		}
		//调节平衡因子
		parent->_bf = subr->_bf = 0;

	}

3.左右双旋

cpp 复制代码

void rotatelr(node* parent)

通常双旋有三种情况，在b里插入新节点，在c里插入新节点，或者b,c都为空

记录sul的平衡因子，方便判断是哪种情况

cpp 复制代码

		node* subl = parent->_left;
		node* sublr = subl->_right;
		int bf = subl->_bf;

		rotatel(subl);
		rotater(parent);

cpp 复制代码

		if (bf == -1)
		{
			subl->_bf = 0;
			parent = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subl->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subl->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		sublr->_bf = 0;

每一种情况平衡因子不同，所以需要画图分别讨论

** 4.右左双旋**

cpp 复制代码

void rotaterl(node* parent)
	{
		node* subr = parent->_right;
		node* subrl = subr->_left;
		int bf = subr->_bf;

		rotater(subr);
		rotater(parent);

		

		if (bf == -1)
		{
			subr->_bf = 1;
			parent = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subr->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subr->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		subrl->_bf = 0;

	}

三.平衡测试

判断是否平衡

cpp 复制代码

    bool _IsBalance(node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		int leftheight = _height(root->_left);
		int rightheight = _height(root->_right);

		if (abs(leftheight - rightheight) >= 2)
		{
			return false;
		}

		//判断节点平衡因子是否正确

		if (root->_bf != (rightheight - leftheight))
		{
			return false;
		}

		return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
	}