检查三个点在 3D 中是否共线算法介绍
在三维空间中，判断三个点是否共线，本质上就是判断这三个点所构成的向量是否线性相关。如果三个点 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) A(x_1, y_1, z_1)、B(x_2, y_2, z_2) A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和 C ( x 3 , y 3 , z 3 ) C(x_3, y_3, z_3) C(x3,y3,z3)共线，那么向量AB和向量AC应该是线性相关的，即存在一个非零实数k，使得 A B = k ∗ A C AB = k * AC AB=k∗AC。
向量AB的坐标为 ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) (x2−x1,y2−y1,z2−z1)，向量AC的坐标为 ( x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 ) (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1) (x3−x1,y3−y1,z3−z1)。
我们可以通过检查这两个向量的对应分量是否成比例来判断它们是否线性相关。具体算法如下：
计算向量AB和AC：
[ A B → = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) ] [ \overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) ] [AB =(x2−x1,y2−y1,z2−z1)]
[ A C → = ( x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 ) ] [ \overrightarrow{AC} = (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1) ] [AC =(x3−x1,y3−y1,z3−z1)]
检查比例关系：
对于x, y, z三个分量，我们需要检查是否满足以下条件（注意这里k对x, y, z应该是同一个值）：
[ x 2 − x 1 x 3 − x 1 = y 2 − y 1 y 3 − y 1 = z 2 − z 1 z 3 − z 1 = k ] [ \frac{x_2-x_1}{x_3-x_1} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_1} = \frac{z_2-z_1}{z_3-z_1} = k ] [x3−x1x2−x1=y3−y1y2−y1=z3−z1z2−z1=k]
其中， k ≠ 0 k ≠ 0 k=0，且分母 ( x 3 − x 1 ) , ( y 3 − y 1 ) , ( z 3 − z 1 ) (x_3-x_1), (y_3-y_1), (z_3-z_1) (x3−x1),(y3−y1),(z3−z1)都不能为0（即A、B、C三点不能重合）。
实现算法：
python
def are_collinear(A, B, C):
# A, B, C are tuples or lists of coordinates (x, y, z)
x1, y1, z1 = A
x2, y2, z2 = B
x3, y3, z3 = C
# Check for division by zero
if x1 == x2 == x3 or y1 == y2 == y3 or z1 == z2 == z3:
return True # All points are the same, hence collinear
# Check proportionality
kx = (y2-y1)*(z3-z1) - (z2-z1)*(y3-y1)
ky = (z2-z1)*(x3-x1) - (x2-x1)*(z3-z1)
kz = (x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*(x3-x1)
# If kx, ky, and kz are all zero, then the points are collinear
return kx == 0 and ky == 0 and kz == 0注意，上述算法中通过计算行列式的值（即kx, ky, kz）来检查比例关系。如果这三个值都为零，则说明向量AB和AC是线性相关的，即A、B、C三点共线。
但是，这个方法有一个特殊情况需要注意：当A、B、C三点中任意两点重合时，虽然它们也"共线"，但按照上面的方法（检查比例）会失败，因为会有分母为零的情况。所以在实际使用时，你可能需要先检查是否有点重合的情况。
检查三个点在 3D 中是否共线算法python实现样例
可以使用以下方法来检查三个点在3D中是否共线：
- 首先，我们需要定义三个点的坐标。
示例输入：
point1 = (x1, y1, z1)
point2 = (x2, y2, z2)
point3 = (x3, y3, z3)
-
接下来，我们需要计算三个点形成的向量。
vector1 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
vector2 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) -
然后，我们可以计算两个向量的叉积。
cross_product = (vector1[1]*vector2[2] - vector1[2]*vector2[1],
vector1[2]*vector2[0] - vector1[0]*vector2[2],
vector1[0]*vector2[1] - vector1[1]*vector2[0]) -
最后，我们检查叉积是否为零。如果叉积为零，则三个点共线；否则，它们不共线。
if cross_product == (0, 0, 0):
print("三个点共线")
else:
print("三个点不共线")
完整的代码示例：
python
def check_collinearity(point1, point2, point3):
vector1 = (point2[0] - point1[0], point2[1] - point1[1], point2[2] - point1[2])
vector2 = (point3[0] - point1[0], point3[1] - point1[1], point3[2] - point1[2])
cross_product = (vector1[1]*vector2[2] - vector1[2]*vector2[1],
vector1[2]*vector2[0] - vector1[0]*vector2[2],
vector1[0]*vector2[1] - vector1[1]*vector2[0])
if cross_product == (0, 0, 0):
print("三个点共线")
else:
print("三个点不共线")
# 示例输入
point1 = (0, 0, 0)
point2 = (1, 1, 1)
point3 = (2, 2, 2)
check_collinearity(point1, point2, point3)请注意，该算法假设输入的三个点不重合。