P1048 [NOIP2005 普及组] 采药

NOIP2005采药

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说："孩子，这个山洞里有一些不同的草药（共 m 株），采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。"

现在已知山洞中共有 n 株草药，采第 i 株采药需要花费 ti 时间，可以获得 ci 价值。

采药的时间 T(1≤T≤1000) ，一共有不超过 100 个草药，每个草药的价值和消耗的时间不超100 。

我们可以看出这是一道 01 背包 的题目，可以设 fj 表示消耗时间为 j 时可以获得的最大价值和，然后进行通过递推进行转移：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = T; j >= t[i]; j--) {
        f[j] = max(f[j], f[j - t[i]] + c[i]);
    }
}
cout << f[T] << endl;

实际上我们还可以通过dfs求解小数据时的答案。设

void dfs(int x, int sumt, int sumc)

表示在前 1∼(x−1) 株药草中，已经花费了 sumt 的时间，采了 sumc 价值的药。

int n, T;
int dfs(int x, int sumt) {
    if (x > n) return 0;
    int r = 0;
    if (sumt + t[x] <= T) {
        r = dfs(x + 1, sumt + t[x]) + c[x];
    }
    r = max(r, dfs(x + 1, sumt));
    return r;
}

cout << dfs(1, 0);

我们尝试用记忆化搜索的方式来求解这个动态规划方程。

我们用 fij 表示在 i,i+1,⋯,n−1,n 中选择物品，剩余时间为 j 时能选出的最大价值和。

然后 DFS 时每次枚举某一个物品选择或者不选，当某些状态已经得到答案时，可以直接返回结果。

int n, T, f[101][1001];
int dfs(int x, int sumt) {
    if (x > n) return 0;
    if (f[x][sumt] != -1) return f[x][sumt];
    int r = 0;
    if (sumt + t[x] <= T) {
        r = dfs(x + 1, sumt + t[x]) + c[x];
    }
    r = max(r, dfs(x + 1, sumt));
    return f[x][sumt] = r;
}

cout << dfs(1, 0);

完整代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int t[101], c[101], n, f[101][1001], T; // t[i] 为耗费的时间， c[i] 为价值
int dfs(int x, int sumt) {
    if (x > n) return 0;
    if (f[x][sumt] != -1) return f[x][sumt];
    int r = 0;
    if (sumt + t[x] <= T) {
        r = dfs(x + 1, sumt + t[x]) + c[x];
    }
    r = max(r, dfs(x + 1, sumt));
    return f[x][sumt] = r;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &T, &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &t[i], &c[i]);
    }
    memset(f, -1, sizeof(f)); // 将所有状态初始化为未计算
    printf("%d\n", dfs(1, 0));
    return 0;
}