数学基础 -- 线性代数之线性变换

线性变换

线性变换 是线性代数中的一个基本概念,它描述了一种特殊的函数,该函数将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中,并且保持向量加法和标量乘法的性质。具体来说,设 V V V 和 W W W 是两个向量空间,一个映射 T : V → W T: V \rightarrow W T:V→W 被称为线性变换,当且仅当对于任意的向量 u , v ∈ V \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V u,v∈V 和标量 c ∈ R c \in \mathbb{R} c∈R (或 C \mathbb{C} C),以下两条性质成立:

  1. 加法保持性 : T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. 标量乘法保持性 : T ( c u ) = c T ( u ) T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) T(cu)=cT(u)

例子

  1. 二维平面上的旋转:

    • 设 T : R 2 → R 2 T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 T:R2→R2 是一个将二维平面上的向量绕原点旋转 θ \theta θ 角度的变换。若 v = ( x y ) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} v=(xy),则经过变换 T T T 后:
      T ( v ) = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) ( x y ) = ( x cos ⁡ θ − y sin ⁡ θ x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ ) T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix} T(v)=(cosθsinθ−sinθcosθ)(xy)=(xcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ)
      这个变换保持了向量加法和标量乘法的性质,因此是一个线性变换。
  2. 二维平面上的缩放:

    • 设 T : R 2 → R 2 T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 T:R2→R2 是一个将向量 v \mathbf{v} v 进行均匀缩放的变换。对于缩放系数 k k k, T ( v ) = k v T(\mathbf{v}) = k\mathbf{v} T(v)=kv。如果 v = ( x y ) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} v=(xy),则:
      T ( v ) = k ( x y ) = ( k x k y ) T(\mathbf{v}) = k\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} T(v)=k(xy)=(kxky)
      这个变换同样保持了向量加法和标量乘法的性质,是一个线性变换。
  3. 投影变换:

    • 设 T : R 3 → R 2 T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 T:R3→R2 是一个将三维向量投影到二维平面的变换。假设投影到 x y xy xy 平面上,则:
      T ( x y z ) = ( x y ) T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} T xyz =(xy)
      这个变换也保持了向量加法和标量乘法的性质,因此是线性变换。

这些例子展示了线性变换如何将向量空间中的向量映射到另一个向量空间,并且不改变向量的线性结构。

相关推荐
Blossom.11824 分钟前
量子计算与经典计算的融合与未来
人工智能·深度学习·机器学习·计算机视觉·量子计算
硅谷秋水1 小时前
MoLe-VLA:通过混合层实现的动态跳层视觉-语言-动作模型实现高效机器人操作
人工智能·深度学习·机器学习·计算机视觉·语言模型·机器人
小李独爱秋2 小时前
机器学习开发全流程详解:从数据到部署的完整指南
人工智能·机器学习
Dovis(誓平步青云)2 小时前
深挖 DeepSeek 隐藏玩法·智能炼金术2.0版本
人工智能·深度学习·机器学习·数据挖掘·服务发现·智慧城市
ZTLJQ2 小时前
基于机器学习的三国时期诸葛亮北伐失败因素量化分析
人工智能·算法·机器学习
赵钰老师3 小时前
【Deepseek、ChatGPT】智能气候前沿:AI Agent结合机器学习与深度学习在全球气候变化驱动因素预测中的应用
人工智能·python·深度学习·机器学习·数据分析
nuise_3 小时前
李宏毅机器学习笔记06 | 鱼和熊掌可以兼得的机器学习 - 内容接宝可梦
人工智能·笔记·机器学习
databook5 小时前
线性模型与多分类问题:简单高效的力量
python·机器学习·scikit-learn
就决定是你啦!10 小时前
机器学习 第一章 绪论
人工智能·深度学习·机器学习
liruiqiang0513 小时前
循环神经网络 - 简单循环网络
人工智能·rnn·深度学习·神经网络·机器学习