线性代数第四讲极大线性无关组，等价向量组，向量组的秩

文章目录

1.极大线性无关组
2.等价向量组
- [2.1 等价向量组的判断](#2.1 等价向量组的判断)
3.向量组的秩
4.等价矩阵和等价向量组
[5. 重难点题型总结](#5. 重难点题型总结)
- [5.1 极大线性无关组的计算](#5.1 极大线性无关组的计算)
- [5.2 AB的行向量表示与AB的列向量表示](#5.2 AB的行向量表示与AB的列向量表示)

1.极大线性无关组

定义 :

在一个向量组中，取部分向量组成新的向量组，这个新向量组是线性无关的。但是假如再往这个新的向量组中再添加一个向量，它就变成线性相关的了。

总结：

极大线性无关组一般不唯一。

极大线性无关组，就是在一个向量组中，找出可以张成原先空间的一个最少向量组成的向量组。

2.等价向量组

2.1 等价向量组的判断

两个向量组可以互相线性表示
单向线性表示+r(Ⅰ)=r(Ⅱ)即两个向量组秩相同
r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ),即两个向量组的秩相同且等于他们拼接的向量组的秩

综上所述，满足任意一条,即可说明两个向量组等价

所以，极大线性无关组和它原本的向量组肯定是等价向量组

3.向量组的秩

定义：

极大线性无关组中所包含向量的个数r，称为向量组的秩。

有关向量组的秩的重要结论：

1.三秩相等

r(A)A矩阵的秩=A的行秩(A的行向量组的秩)=A的列秩(A的列向量组的秩)

2.A做初等行变换得到B

1）A的行向量组和B的行向量组是等价向量组

2）A和B任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性。

3.某向量组中任一向量可由另一个向量组表示

向量组a₁，a₂，a₃...和向量组β₁，β₂，β₃...其中每一个β_i向量均可由向量组a表示，则说明
r ( β 1 β 2 , . . . β t ) ≤ r ( a 1 a 2 , . . . a t ) r\left(\beta {1}\beta {2},...\beta {t}\right) \leq r\left(a{1}a{2},...a{t}\right)\: r(β1β2,...βt)≤r(a1a2,...at)

4.等价矩阵和等价向量组

等价矩阵要求同时满足两条:
1.形状相同 （意味着行数和列数要相同），但是等价向量组要同维，向量个数可以不同
2.矩阵的秩相同

等价矩阵做初等行变换或列变换之后，还是等价矩阵 PAQ=B

等价向量组的判定法见第二大点

5. 重难点题型总结

5.1 极大线性无关组的计算

根据向量组的秩重要结论二可知，求一个向量组的极大线性无关组，先把向量组的列向量拼起来，做初等行变换，然后化为行阶梯形矩阵，该矩阵秩多大，极大线性无关组中向量个数就是多大，找完之后，他们之间的线性关系，就是原向量之间的线性关系。

流程说明:假设证明向量组A和向量组B等价

先算（A,B)，得到r(A)=r(A,B)

再算（B,A)，得到r(B)=r(B,A)

综上r(A)=r(B)=r(A,B)，得出等价结论

5.2 AB的行向量表示与AB的列向量表示

真题实战1:

设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则()

(A)矩阵C的行向量组与A的行向量组等价

(B)矩阵C的列向量组与A的列向量组等价

(C)矩阵C的行向量组与B的列向量组等价

(D)矩阵C的列向量组与B的列向量组等价

分析如下:

证明向量组等价，意味着要证明向量组之间可以互相线性表示

根据上面的总结结论:

AB=C推出C的列向量可由A的列向量线性表示，C的行向量可由B的行向量线性表示

又因为B可逆，所以A=CB^-1，推出A的列向量可由C的列向量线性表示，C的行向量可由B^-1的行向量线性表示.

综上所述，C的列向量组与A的列向量组等价

真题实战2 (2018年真题)A,B~n阶

(A)r(A,AB)=r(A)

(B)r(A,BA)=r(A)

(C)r(A,B)=max{r(A),r(B)}

(D)r(A,B)=r(A^T,B^T)