文章目录
- 1.极大线性无关组
- 2.等价向量组
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- [2.1 等价向量组的判断](#2.1 等价向量组的判断)
- 3.向量组的秩
- 4.等价矩阵和等价向量组
- [5. 重难点题型总结](#5. 重难点题型总结)
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- [5.1 极大线性无关组的计算](#5.1 极大线性无关组的计算)
- [5.2 AB的行向量表示与AB的列向量表示](#5.2 AB的行向量表示与AB的列向量表示)
1.极大线性无关组
定义 :
在一个向量组中,取部分向量组成新的向量组,这个新向量组是线性无关的。但是假如再往这个新的向量组中再添加一个向量,它就变成线性相关的了。
总结 :
极大线性无关组一般不唯一。
极大线性无关组,就是在一个向量组中,找出可以张成原先空间的一个最少向量组成的向量组。
2.等价向量组
2.1 等价向量组的判断
- 两个向量组可以互相线性表示
- 单向线性表示+r(Ⅰ)=r(Ⅱ)即两个向量组秩相同
- r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ),即两个向量组的秩相同且等于他们拼接的向量组的秩
综上所述,满足任意一条,即可说明两个向量组等价
所以,极大线性无关组和它原本的向量组肯定是等价向量组
3.向量组的秩
定义 :
极大线性无关组中所包含向量的个数r,称为向量组的秩。
有关向量组的秩的重要结论:
1.三秩相等
r(A)A矩阵的秩=A的行秩(A的行向量组的秩)=A的列秩(A的列向量组的秩)
2.A做初等行变换得到B
1)A的行向量组和B的行向量组是等价向量组
2)A和B任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性。
3.某向量组中任一向量可由另一个向量组表示
向量组a~1~,a~2~,a~3~...和向量组β~1~,β~2~,β~3~...其中每一个β~i~向量均可由向量组a表示,则说明
r ( β 1 β 2 , . . . β t ) ≤ r ( a 1 a 2 , . . . a t ) r\left(\beta {1}\beta {2},...\beta {t}\right) \leq r\left(a{1}a{2},...a{t}\right)\: r(β1β2,...βt)≤r(a1a2,...at)
4.等价矩阵和等价向量组
等价矩阵要求同时满足两条:
1.形状相同 (意味着行数和列数要相同),但是等价向量组要同维,向量个数可以不同
2.矩阵的秩相同
等价矩阵做初等行变换或列变换之后,还是等价矩阵 PAQ=B
等价向量组的判定法见第二大点
5. 重难点题型总结
5.1 极大线性无关组的计算
根据向量组的秩重要结论二可知,求一个向量组的极大线性无关组,先把向量组的列向量拼起来,做初等行变换,然后化为行阶梯形矩阵,该矩阵秩多大,极大线性无关组中向量个数就是多大,找完之后,他们之间的线性关系,就是原向量之间的线性关系。
流程说明:假设证明向量组A和向量组B等价
先算(A,B),得到r(A)=r(A,B)
再算(B,A),得到r(B)=r(B,A)
综上r(A)=r(B)=r(A,B),得出等价结论
5.2 AB的行向量表示与AB的列向量表示
真题实战1:
设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则()
(A)矩阵C的行向量组与A的行向量组等价
(B)矩阵C的列向量组与A的列向量组等价
(C)矩阵C的行向量组与B的列向量组等价
(D)矩阵C的列向量组与B的列向量组等价
分析如下:
证明向量组等价,意味着要证明向量组之间可以互相线性表示
根据上面的总结结论:
AB=C推出C的列向量可由A的列向量线性表示,C的行向量可由B的行向量线性表示
又因为B可逆,所以A=CB^-1^,推出A的列向量可由C的列向量线性表示,C的行向量可由B^-1^的行向量线性表示.
综上所述,C的列向量组与A的列向量组等价
真题实战2 (2018年真题)A,B~n阶
(A)r(A,AB)=r(A)
(B)r(A,BA)=r(A)
(C)r(A,B)=max{r(A),r(B)}
(D)r(A,B)=r(A^T^,B^T^)
分析如下:
因为是左右拼接,所以(A,AB)看列向量,AB其实A列向量的线性表示,故A正确
B选项中,AB其实是B列向量的线性表示,故B不一定
C,D简单的举出反例不正确,故选A