【作者主页】Francek Chen
【专栏介绍】⌈ ⌈ ⌈Python机器学习 ⌋ ⌋ ⌋ 机器学习是一门人工智能的分支学科，通过算法和模型让计算机从数据中学习，进行模型训练和优化，做出预测、分类和决策支持。Python成为机器学习的首选语言，依赖于强大的开源库如Scikit-learn、TensorFlow和PyTorch。本专栏介绍机器学习的相关算法以及基于Python的算法实现。
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在前面两篇文章中，我们分别介绍了神经网络的基础概念和最简单的MLP，以及适用于图像处理的CNN。从中我们可以意识到，不同结构的神经网络具有不同的特点，在不同任务上具有自己的优势。例如MLP复杂度低、训练简单、适用范围广，适合解决普通任务或作为大型网络的小模块；CNN可以捕捉到输入中不同尺度的关联信息，适合从图像中提取特征。而对于具有序列特征的数据，例如一年内随时间变化的温度、一篇文章中的文字等，它们具有明显的前后关联。然而这些关联的数据在序列中出现的位置可能间隔非常远，例如文章在开头和结尾描写了同一个事物，如果用CNN来提取这些关联的话，其卷积核的大小需要和序列的长度相匹配。当数据序列较长时，这种做法会大大增加网络复杂度和训练难度。因此，我们需要引入一种新的网络结构，使其能够充分利用数据的序列性质，从前到后分析数据、提取关联。这就是本文要介绍的循环神经网络（recurrent neural networks，RNN）。
一、循环神经网络的基本原理
我们先从最简单的模型开始考虑。对于不存在序列关系的数据，我们采用一个两层的MLP来拟合它，如图1(a)所示，输入样本为 x \boldsymbol x x，经过第一个权重为 W i \boldsymbol W_i Wi和 b i \boldsymbol b_i bi的隐层得到中间向量 h = f h ( W i x + b i ) \boldsymbol h = \boldsymbol f_h(\boldsymbol W_i\boldsymbol x+\boldsymbol b_i) h=fh(Wix+bi)，再经过权重为 W o \boldsymbol W_o Wo和 b o \boldsymbol b_o bo的隐层得到输出 y = f o ( W o h + b o ) \boldsymbol y = f_o(\boldsymbol W_o\boldsymbol h+\boldsymbol b_o) y=fo(Woh+bo)，其中 f h f_h fh和 f o f_o fo为激活函数。这是一个标准的MLP的预测流程。
图1 从MLP到RNN
假设数据集中的数据分别是在时刻1和时刻2采集到的，并且我们知道时刻2的结果与时刻1有关。这时，由于两个时刻的数据产生了依赖关系，如果我们用相同的模型权重来进行预测而忽略其关联，预测的准确度就会降低。为了利用上额外的关联信息，我们将MLP的结构拓展一下，如图1(b)所示，第二个MLP的中间向量与一般的MLP不同。在计算时刻2的中间向量 h 2 \boldsymbol h_2 h2时，我们将时刻1的中间向量 h 1 \boldsymbol h_1 h1也纳入进来，得到 h 2 = f h ( W h h 1 + W i x 2 + b i ) \boldsymbol h_2 = f_h(\boldsymbol W_h\boldsymbol h_1+\boldsymbol W_i\boldsymbol x_2+\boldsymbol b_i) h2=fh(Whh1+Wix2+bi)，再将 h 2 \boldsymbol h_2 h2传给第二个隐层，计算出输出 y 2 = f o ( W o h 2 + b o ) y_2=f_o(\boldsymbol W_o\boldsymbol h_2+\boldsymbol b_o) y2=fo(Woh2+bo)。这样，我们就在时刻2的预测中用到了时刻1的信息。如果将这种思想进一步扩展，如图1(c)所示，我们可以将MLP沿着序列不断扩展下去，中间的每个MLP都将上一时刻的中间向量 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1与当前的输入 x t \boldsymbol x_t xt组合得到中间向量，再进行后续处理。同时，由于序列中每一位置之间又存在对称性，为了减小网络的复杂度，每一MLP前后的权重与中间组合的权重可以共用，不随序列位置变化。因此，这样重复的网络结构可以用图2中的循环来表示，称为循环神经网络。
图2 RNN的循环表示
RNN的输入与输出并不一定要像上面展示的一样，在每一时刻都有一个输入样本和一个预测输出。根据任务的不同，RNN的输入输出对应可以有多种形式。图3展示了一些不同对应形式的RNN结构，从左到右依次是一对多、多对一、同步多对多和异步多对多，它们都有合适的任务场景。例如，如果我们要根据一个关键词生成一句话，以词语作为最小单元，那么RNN的输入只有一个，而生成的句子需要有连贯的含义和语义，因此可以利用RNN在每一时刻输出一个词，从前到后连成完整的句子。这样的任务就更适合采用一对多的结构。再比如，常见的时间序列预测任务需要我们根据一段时间中收集的数据，预测接下来一定时间内数据的情况。这时，我们就可以用异步多对多的结构，先分析样本的规律和特征，再生成紧接着样本所在时间之后的结果。
图3 适用与不同任务的RNN结构
当我们训练RNN时，由于每一时刻的中间向量都会组合上一时刻的中间向量，如果把时刻 t t t的中间向量全部展开，就得到
h t = f h ( W h h t − 1 + W i x t + b i ) = f h ( W h f h ( W h h t − 2 + W i x t − 1 + b i ) + W i x t + b i ) = ⋯ = f h ( W h f h ( ⋯ W h f h ( W h ( W i x 1 + b i ) + W i x 2 + b i ) ⋯ ) + W i x t + b i ) \begin{aligned} \boldsymbol h_t &= f_h(\boldsymbol W_h\boldsymbol h_{t-1}+\boldsymbol W_i\boldsymbol x_t+\boldsymbol b_i) \\ &= f_h(\boldsymbol W_hf_h(\boldsymbol W_h\boldsymbol h_{t-2}+\boldsymbol W_i\boldsymbol x_{t-1}+\boldsymbol b_i)+\boldsymbol W_i\boldsymbol x_t+\boldsymbol b_i) \\ &= \cdots \\ &= f_h(\boldsymbol W_hf_h(\cdots\boldsymbol W_hf_h(\boldsymbol W_h(\boldsymbol W_i\boldsymbol x_1+\boldsymbol b_i)+\boldsymbol W_i\boldsymbol x_2+\boldsymbol b_i)\cdots)+\boldsymbol W_i\boldsymbol x_t+\boldsymbol b_i) \end{aligned} ht=fh(Whht−1+Wixt+bi)=fh(Whfh(Whht−2+Wixt−1+bi)+Wixt+bi)=⋯=fh(Whfh(⋯Whfh(Wh(Wix1+bi)+Wix2+bi)⋯)+Wixt+bi)
如果在时刻 t t t存在输出，我们可计算时刻 t t t的损失函数，并使用梯度回传方法优化参数。然而，随着反向传播的步数增加，RNN有可能会出现梯度消失或梯度爆炸的现象。为了详细解释这一现象，我们考虑时刻 t t t的损失 L t \mathcal L_t Lt关于参数 W i \boldsymbol W_i Wi的导数。根据求导的链式法则，我们可以计算如下：
∂ L t ∂ W i = ∂ L t ∂ y t ∂ y t ∂ W i = ∂ L t ∂ y t ∂ y t ∂ h t d h t d W i = ∂ L t ∂ y t ∂ y t ∂ h t ( ∂ h t ∂ W i + ∂ h t ∂ h t − 1 d h t − 1 d W i ) = ⋯ = ∂ L t ∂ y t ∂ y t ∂ h t ( ∂ h t ∂ W i + ∂ h t ∂ h t − 1 ∂ h t − 1 ∂ W i + ⋯ + ∂ h t ∂ h t − 1 ∂ h t − 1 ∂ h t − 2 ⋯ ∂ h 2 ∂ h 1 ∂ h 1 ∂ W i ) = ∂ L t ∂ y t ∂ y t ∂ h t ( ∂ h t ∂ W i + ∑ j = 1 t − 1 ( ∏ k = j + 1 t ∂ h k ∂ h k − 1 ) ∂ h j ∂ W i ) \begin{aligned} \frac{\partial\mathcal L_t}{\partial\boldsymbol W_i} &= \frac{\partial\mathcal L_t}{\partial y_t}\frac{\partial y_t}{\partial\boldsymbol W_i} \\[2ex] &= \frac{\partial\mathcal L_t}{\partial y_t}\frac{\partial y_t}{\partial\boldsymbol h_t}\frac{\mathrm d\boldsymbol h_t}{\mathrm d\boldsymbol W_i} \\[2ex] &= \frac{\partial\mathcal L_t}{\partial y_t}\frac{\partial y_t}{\partial\boldsymbol h_t}\left(\frac{\partial\boldsymbol h_t}{\partial\boldsymbol W_i}+\frac{\partial\boldsymbol h_t}{\partial\boldsymbol h_{t-1}}\frac{\mathrm d\boldsymbol h_{t-1}}{\mathrm d\boldsymbol W_i}\right) \\[2ex] &= \cdots \\[1ex] &= \frac{\partial\mathcal L_t}{\partial y_t}\frac{\partial y_t}{\partial\boldsymbol h_t}\left(\frac{\partial\boldsymbol h_t}{\partial\boldsymbol W_i}+\frac{\partial\boldsymbol h_t}{\partial\boldsymbol h_{t-1}}\frac{\partial\boldsymbol h_{t-1}}{\partial\boldsymbol W_i}+\cdots+\frac{\partial\boldsymbol h_t}{\partial\boldsymbol h_{t-1}}\frac{\partial\boldsymbol h_{t-1}}{\partial\boldsymbol h_{t-2}}\cdots\frac{\partial\boldsymbol h_2}{\partial\boldsymbol h_1}\frac{\partial\boldsymbol h_1}{\partial\boldsymbol W_i}\right) \\[2ex] &= \frac{\partial\mathcal L_t}{\partial y_t}\frac{\partial y_t}{\partial\boldsymbol h_t}\left(\frac{\partial\boldsymbol h_t}{\partial\boldsymbol W_i}+\sum_{j=1}^{t-1}\left(\prod_{k=j+1}^t\frac{\partial\boldsymbol h_k}{\partial\boldsymbol h_{k-1}}\right)\frac{\partial\boldsymbol h_j}{\partial\boldsymbol W_i}\right) \end{aligned} ∂Wi∂Lt=∂yt∂Lt∂Wi∂yt=∂yt∂Lt∂ht∂ytdWidht=∂yt∂Lt∂ht∂yt(∂Wi∂ht+∂ht−1∂htdWidht−1)=⋯=∂yt∂Lt∂ht∂yt(∂Wi∂ht+∂ht−1∂ht∂Wi∂ht−1+⋯+∂ht−1∂ht∂ht−2∂ht−1⋯∂h1∂h2∂Wi∂h1)=∂yt∂Lt∂ht∂yt ∂Wi∂ht+j=1∑t−1 k=j+1∏t∂hk−1∂hk ∂Wi∂hj 将 ∂ h k ∂ h k − 1 = f h ′ W h \begin{aligned}\frac{\partial\boldsymbol h_k}{\partial\boldsymbol h_{k-1}}=f'h\boldsymbol W_h\end{aligned} ∂hk−1∂hk=fh′Wh 和 ∂ h k ∂ W i = x k \begin{aligned}\frac{\partial\boldsymbol h_k}{\partial\boldsymbol W_i}=\boldsymbol x_k\end{aligned} ∂Wi∂hk=xk 代入，就得到 ∂ L t ∂ W i = ∂ L t ∂ y t ∂ y t ∂ h t ( x t + ∑ j = 1 t − 1 ( ∏ k = j + 1 t f h ′ W h ) x j ) \frac{\partial\mathcal L_t}{\partial\boldsymbol W_i} = \frac{\partial\mathcal L_t}{\partial y_t}\frac{\partial y_t}{\partial\boldsymbol h_t}\left(\boldsymbol x_t+\sum{j=1}^{t-1}\left(\prod_{k=j+1}^tf'_h\boldsymbol W_h\right)\boldsymbol x_j\right) ∂Wi∂Lt=∂yt∂Lt∂ht∂yt xt+j=1∑t−1 k=j+1∏tfh′Wh xj
观察上式可以发现，梯度中会出现一些 f h ′ W h f'_h\boldsymbol W_h fh′Wh的连乘项。如果 f h ′ W h < 1 f'_h\boldsymbol W_h<1 fh′Wh<1，当时刻 t t t与时刻 j j j距离较远时，该连乘的值就会趋近于0，因此由时刻 t t t的损失函数计算出的梯度在回传时会逐渐消失；反之，如果 f h ′ W h > 1 f'_h\boldsymbol W_h>1 fh′Wh>1，该连乘会趋于无穷大，梯度在回传时会出现发散的现象。我们将这两种情况分别称为梯度消失和梯度爆炸。无论出现哪种情况，网络的参数都无法正常更新，模型的性能也会大打折扣。当出现梯度消失时，时刻 t t t的梯度只能影响时刻 t t t之前的少数几步，而无法影响到较远的位置。换句话说，距离时刻 t t t较远的信息已经丢失，模型很难捕捉到序列中的长期关联。而当出现梯度爆炸时，网络的梯度会迅速发散，出现数值溢出等错误。
为了防止上述现象发生，最简单的做法是对梯度进行裁剪，为梯度设置上限和下限，当梯度过大或过小时，直接用上下限来代替梯度的值。但是，这种做法在复杂情况下仍然会导致信息丢失，通常只作为一种辅助手段。我们还可以选用合适的激活函数 f h f_h fh并调整网络参数 W h \boldsymbol W_h Wh初始化的值，使得乘积 f h ′ W h f'_h\boldsymbol W_h fh′Wh始终稳定在1附近。但是，随着网络参数不断更新， W h \boldsymbol W_h Wh总会变化，要始终控制它们的乘积比较困难。因此，我们可以将网络中关联起相邻两步的 f h f_h fh和 W h \boldsymbol W_h Wh扩展成一个小的网络，通过设计其结构来达到稳定梯度的目的。
二、门控循环单元
本节，我们就来介绍一种较为简单的设计------门控循环单元（gated recurrent unit，GRU）。为了解决梯度消失与梯度爆炸的问题，GRU在普通RNN的设计上进行改进，通过门控单元来调整 h t \boldsymbol h_t ht和 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1的关系。我们不妨将输入 x t \boldsymbol x_t xt理解为外部输入的信息， h t \boldsymbol h_t ht理解为网络记住的信息，它从时刻1的 h 1 \boldsymbol h_1 h1开始向后传递。然而，由于模型本身复杂度的限制，模型并不需要、也无法将所有时刻的信息都保留下来。因此，在由上一时刻的信息 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1计算 h t \boldsymbol h_t ht时，必须有选择地进行遗忘。同时，在时刻 t t t有新的信息 x t \boldsymbol x_t xt输入进网络，我们需要在过去的信息 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1与新信息 x t \boldsymbol x_t xt之间做到平衡。
图4展示了GRU单元的内部结构，GRU设置的门控单元共有两个，分别称为更新门和重置门。每个门控单元输出一个数值或向量，由上一时刻的信息 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1和当前时刻的输入 x t \boldsymbol x_t xt组合计算得到
z t = σ ( W z x t + U z h t − 1 + b z ) r t = σ ( W r x t + U r h t − 1 + b r ) \begin{aligned} \boldsymbol z_t = \sigma(\boldsymbol W_z\boldsymbol x_t+\boldsymbol U_z\boldsymbol h_{t-1}+\boldsymbol b_z) \\ \boldsymbol r_t = \sigma(\boldsymbol W_r\boldsymbol x_t+\boldsymbol U_r\boldsymbol h_{t-1}+\boldsymbol b_r) \end{aligned} zt=σ(Wzxt+Uzht−1+bz)rt=σ(Wrxt+Urht−1+br) 其中， z t \boldsymbol z_t zt是更新单元， r t \boldsymbol r_t rt是重置单元， W z \boldsymbol W_z Wz、 W r \boldsymbol W_r Wr、 U z \boldsymbol U_z Uz、 U r \boldsymbol U_r Ur、 b z \boldsymbol b_z bz和 b r \boldsymbol b_r br都是网络的参数， σ \sigma σ是逻辑斯谛函数，从而门控单元的值都在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)区间内。
图4 GRU结构示意
虽然这两个单元的计算方式完全相同，但是接下来它们会发挥不同的作用。利用重置单元 r t \boldsymbol r_t rt，我们对过去的信息 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1进行选择性遗忘： h t − 1 ′ = r t ⊙ h t − 1 \boldsymbol h'{t-1}=\boldsymbol r_t\odot\boldsymbol h{t-1} ht−1′=rt⊙ht−1 其中， ⊙ \odot ⊙称为阿达马积（Hadamard product），表示向量或矩阵的逐元素相乘。例如，形状均为 m × n m\times n m×n 的矩阵 A \boldsymbol A A和 B \boldsymbol B B的阿达玛积为
A ⊙ B = ( a 11 b 11 a 12 b 12 ⋯ a 1 n b 1 n a 21 b 21 a 22 b 22 ⋯ a 2 n b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 b m 1 a m 2 b m 2 ⋯ a m n b m n ) \boldsymbol{\boldsymbol A\odot\boldsymbol B} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} &a_{12}b_{12} &\cdots &a_{1n}b_{1n} \\ a_{21}b_{21} &a_{22}b_{22} &\cdots &a_{2n}b_{2n} \\ \vdots &\vdots\ & &\vdots \\ a_{m1}b_{m1} &a_{m2}b_{m2} &\cdots &a_{mn}b_{mn} \end{pmatrix} A⊙B= a11b11a21b21⋮am1bm1a12b12a22b22⋮ am2bm2⋯⋯⋯a1nb1na2nb2n⋮amnbmn 当 r t \boldsymbol r_t rt某一维度的值接近0时，网络就更倾向于遗忘 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1的相应维度；反之，当 r t \boldsymbol r_t rt某一维度的值接近1时，网络更倾向于保留 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1的相应维度。之后，我们再将重置过的 h t − 1 ′ \boldsymbol h'_{t-1} ht−1′与 x t \boldsymbol x_t xt组合，得到 h ^ t \hat{\boldsymbol h}t h^t： h ^ t = tanh ( W h x t + U h h t − 1 ′ + b h ) \hat{\boldsymbol h}t=\tanh(\boldsymbol W_h\boldsymbol x_t+\boldsymbol U_h\boldsymbol h'{t-1}+\boldsymbol b_h) h^t=tanh(Whxt+Uhht−1′+bh) 这里得到的 h ^ t \hat{\boldsymbol h}t h^t混合了当前的 x t \boldsymbol x_t xt与部分过去的信息 h t − 1 ′ \boldsymbol h'{t-1} ht−1′，并由 tanh \tanh tanh函数映射到了 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1)范围内。观察上式与普通RNN的更新方式 h t = f h ( W i x i + W h h t − 1 + b t ) \boldsymbol h_t = f_h(\boldsymbol W_i\boldsymbol x_i+\boldsymbol W_h\boldsymbol h{t-1}+\boldsymbol b_t) ht=fh(Wixi+Whht−1+bt)，可以看出，普通的RNN相当于令重置单元 r t \boldsymbol r_t rt的所有维度都为1，从而保留了所有过去的信息；而 r t = 0 \boldsymbol r_t=0 rt=0 会消除所有过去的信息，使得RNN退化为与过去无关的单个MLP。可以通过这样的对比体会重置单元的意义。
最后，我们要决定 h t \boldsymbol h_t ht是要更倾向于旧的信息 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1，还是旧信息与新输入 x t \boldsymbol x_t xt的混合 h ^ t \hat{\boldsymbol h}t h^t。利用更新单元 z t \boldsymbol z_t zt，我们令 h t = z t ⊙ h t − 1 + ( 1 − z t ) ⊙ h ^ t \boldsymbol h_t=\boldsymbol z_t\odot\boldsymbol h{t-1}+(\boldsymbol1-\boldsymbol z_t)\odot\hat{\boldsymbol h}_t ht=zt⊙ht−1+(1−zt)⊙h^t
在上式中，如果更新单元 z t \boldsymbol z_t zt接近 1 \boldsymbol1 1，我们将保留更多的旧信息 h t − 1 \boldsymbol h_{t-1} ht−1，而忽略 x t \boldsymbol x_t xt的影响；反之，如果 z t \boldsymbol z_t zt接近 0 \boldsymbol0 0，我们将让旧信息与新信息混合，保留 h ^ t − 1 \hat{\boldsymbol h}{t-1} h^t−1。需要注意，重置单元和更新单元的作用并不相同，两者不能合为一个单元。简单来说，重置单元控制旧信息保留的比例，而更新单元同时控制旧信息和新输入的比例。虽然理论上我们可以用类似 h t = z t ⊙ f h ( U h h t − 1 + b h ) + ( 1 − z t ) ⊙ f x ( W x x t + b x ) \boldsymbol h_t=\boldsymbol z_t\odot f_h(\boldsymbol U_h\boldsymbol h{t-1}+\boldsymbol b_h)+(\boldsymbol1-\boldsymbol z_t)\odot f_x(\boldsymbol W_x\boldsymbol x_t+\boldsymbol b_x) ht=zt⊙fh(Uhht−1+bh)+(1−zt)⊙fx(Wxxt+bx) 这样的式子，仅用一个更新单元来计算 h t \boldsymbol h_t ht，但是其灵活性将大打折扣。
为什么GRU的设计可以缓解梯度爆炸与梯度消失问题呢？上文我们已经提到，导致梯度问题的最大因素是 ∂ h t ∂ h t − 1 \begin{aligned}\frac{\partial\boldsymbol h_t}{\partial\boldsymbol h_{t-1}}\end{aligned} ∂ht−1∂ht的连乘。在GRU中，我们可以通过调整门控单元 r t \boldsymbol r_t rt与 z t \boldsymbol z_t zt的值，使该梯度始终保持稳定。以文本分析为例，假如某一事物在一段话的开头和结尾出现，为了让模型保留它们之间的关联，我们只需要将重置单元 r t \boldsymbol r_t rt的值减小、更新单元 z t \boldsymbol z_t zt的值增大，就可以使网络在间隔很多时间步之后，仍然保留最初的记忆信息。最极端的情况下，如果令 z 2 , ⋯ , z t − 1 = 1 \boldsymbol z_2,\cdots,\boldsymbol z_{t-1}=\boldsymbol1 z2,⋯,zt−1=1，那么从时刻2到时刻 t − 1 t-1 t−1 的所有输入都将被忽略，可以直接得到 h t = h 1 \boldsymbol h_t=\boldsymbol h_1 ht=h1。这样，梯度的连乘为 ∏ k = 2 t ∂ h k ∂ h k − 1 = ∂ h t ∂ h 1 = I \prod_{k=2}^t\frac{\partial\boldsymbol h_k}{\partial\boldsymbol h_{k-1}}=\frac{\partial\boldsymbol h_t}{\partial\boldsymbol h_1}=\boldsymbol I k=2∏t∂hk−1∂hk=∂h1∂ht=I
虽然门控单元的值也是由网络训练得到的，但是门控单元的引入使得GRU可以自我调节梯度。也就是说，如果 h 1 \boldsymbol h_1 h1非常重要，那么门控单元会让 h 1 \boldsymbol h_1 h1保留下来，其梯度较大；如果 h 1 \boldsymbol h_1 h1重要性不高，随着时间推移被遗忘，那么其梯度即使消失也不会产生什么问题。因此，GRU几乎不会发生普通RNN的梯度爆炸或梯度消失现象。
三、动手实现GRU
本节我们使用PyTorch库中的工具来实现GRU模型，完成简单的时间序列预测任务。时间序列预测任务是指根据一段连续时间内采集的数据、分析其变化规律、预测接下来数据走向的任务。如果当前数据与历史数据存在依赖关系，或者有随时间有一定的规律性，该任务就很适合用RNN求解。本节中，我们生成了一条经过一定处理的正弦曲线作为数据集，存储在sindata_1000.csv中。该曲线包含1000个数据点。其中前800个点作为训练集，后200个点作为测试集。由于本任务是时序预测任务，我们在划分训练集和测试集时无须将其打乱。我们首先导入必要的库和数据集，并将数据集的图像绘制出来。
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm import tqdm
import torch
import torch.nn as nn
# 导入数据集
data = np.loadtxt('sindata_1000.csv', delimiter=',')
num_data = len(data)
split = int(0.8 * num_data)
print(f'数据集大小：{num_data}')
# 数据集可视化
plt.figure()
plt.scatter(np.arange(split), data[:split], color='blue', s=10, label='training set')
plt.scatter(np.arange(split, num_data), data[split:], color='none', edgecolor='orange', s=10, label='test set')
plt.xlabel('X axis')
plt.ylabel('Y axis')
plt.legend()
plt.show()
# 分割数据集
train_data = np.array(data[:split])
test_data = np.array(data[split:])
在训练RNN模型时，虽然我们可以把每个时间步 t t t单独输入，得到模型的预测值 y ^ t \hat y_t y^t，但是这样无法体现出数据的序列相关性质。因此，我们通常会把一段时间序列 x t , ⋯ , x t + k \boldsymbol x_t,\cdots,\boldsymbol x_{t+k} xt,⋯,xt+k整体作为输入，PyTorch中的GRU模块输出这段序列对应的中间变量 h t , ⋯ , h t + k \boldsymbol h_t,\cdots,\boldsymbol h_{t+k} ht,⋯,ht+k。下面的实现中，我们每次输入 x t , ⋯ , x t + k \boldsymbol x_t,\cdots,\boldsymbol x_{t+k} xt,⋯,xt+k 的时间序列，预测输入向后错一步 x t + 1 , ⋯ , x t + k + 1 \boldsymbol x_{t+1},\cdots,\boldsymbol x_{t+k+1} xt+1,⋯,xt+k+1 的数据。参照图4的结构可以发现，GRU模型只输出中间变量。如果要得到我们最后的输出，还需要将这些中间变量经过自定义的其他网络。这一点和CNN里卷积层负责提取特征、MLP负责根据特征完成特定任务的做法非常相似。因此，我们在GRU之后拼接一个全连接层，通过中间变量序列 h t + 1 , ⋯ , h t + k + 1 \boldsymbol h_{t+1},\cdots,\boldsymbol h_{t+k+1} ht+1,⋯,ht+k+1 来预测未来的数据分布。
python
# 输入序列长度
seq_len = 20
# 处理训练数据，把切分序列后多余的部分去掉
train_num = len(train_data) // (seq_len + 1) * (seq_len + 1)
train_data = np.array(train_data[:train_num]).reshape(-1, seq_len + 1, 1)
np.random.seed(0)
torch.manual_seed(0)
x_train = train_data[:, :seq_len] # 形状为(num_data, seq_len, input_size)
y_train = train_data[:, 1: seq_len + 1]
print(f'训练序列数：{len(x_train)}')
# 转为PyTorch张量
x_train = torch.from_numpy(x_train).to(torch.float32)
y_train = torch.from_numpy(y_train).to(torch.float32)
x_test = torch.from_numpy(test_data[:-1]).to(torch.float32)
y_test = torch.from_numpy(test_data[1:]).to(torch.float32)
考虑到GRU的模型结构较为复杂，我们直接使用在PyTorch库中封装好的GRU模型。我们只需要为该模型提供两个参数，第一个参数input_size表示输入 x \boldsymbol x x的维度，第二个参数hidden_size表示中间向量 h \boldsymbol h h的维度，其余参数我们保持默认值。在前向传播时，GRU接受序列 x \boldsymbol x x和初始的中间变量 h \boldsymbol h h。如果最开始我们不知道中间变量的值，GRU会自动将其初始化为全零。前向传播的输出是out和hidden，前者是整个时间序列上中间变量的值，而后者只包含是最后一步。out[-1]和hidden在GRU内部的层数不同时会有区别，但本节只使用单层网络，因此不详细展开。感兴趣的可以参考PyTorch的官方文档。我们将out作为最后全连接层的输入，得到预测值，再把预测值和hidden返回。hidden将作为下一次前向传播的初始中间变量。
python
class GRU(nn.Module):
# 包含PyTorch的GRU和拼接的MLP
def __init__(self, input_size, output_size, hidden_size):
super().__init__()
# GRU模块
self.gru = nn.GRU(input_size=input_size, hidden_size=hidden_size)
# 将中间变量映射到预测输出的MLP
self.linear = nn.Linear(hidden_size, output_size)
def forward(self, x, hidden):
# 前向传播
# x的维度为(batch_size, seq_len, input_size)
# GRU模块接受的输入为(seq_len, batch_size, input_size)
# 因此需要对x进行变换
# transpose函数可以交换x的坐标轴
# out的维度是(seq_len, batch_size, hidden_size)
out, hidden = self.gru(torch.transpose(x, 0, 1), hidden)
# 取序列最后的中间变量输入给全连接层
out = self.linear(out.view(-1, hidden_size))
return out, hidden接下来，我们设置超参数并实例化GRU。在训练之前，我们还要强调时序模型在测试时与普通模型的区别。GRU在测试时，我们将输入的时间序列长度降为1，即只输入 x t \boldsymbol x_t xt，让GRU预测 t + 1 t+1 t+1 时刻的值。之后，不像普通的任务那样把所有测试数据都给模型，而是让GRU将自己预测的 x ^ t + 1 \hat{\boldsymbol x}_{t+1} x^t+1作为输入，再预测 t + 2 t+2 t+2 时刻的值，循环往复。这样的测试方式对模型在时序上的建模能力有相当高的要求，否则就会很快因为预测值的误差累积，和真实值偏差很大。
python
# 超参数
input_size = 1 # 输入维度
output_size = 1 # 输出维度
hidden_size = 16 # 中间变量维度
learning_rate = 5e-4
# 初始化网络
gru = GRU(input_size, output_size, hidden_size)
gru_optim = torch.optim.Adam(gru.parameters(), lr=learning_rate)
# GRU测试函数，x和hidden分别是初始的输入和中间变量
def test_gru(gru, x, hidden, pred_steps):
pred = []
inp = x.view(-1, input_size)
for i in range(pred_steps):
gru_pred, hidden = gru(inp, hidden)
pred.append(gru_pred.detach())
inp = gru_pred
return torch.concat(pred).reshape(-1)作为对比，我们用相同的数据同步训练一个3层的MLP模型。该MLP将同样将 x t , ⋯ , x t + k \boldsymbol x_t,\cdots,\boldsymbol x_{t+k} xt,⋯,xt+k 的数据拼接在一起作为输入，此时 k k k被理解为输入的批量大小，并输出 x t + 1 , ⋯ , x t + k + 1 \boldsymbol x_{t+1},\cdots,\boldsymbol x_{t+k+1} xt+1,⋯,xt+k+1 的预测值，与GRU保持一致。在测试时，MLP同样只接受测试集第一个时间步的数据，以和GRU相同的方式进行自循环预测。
python
# MLP的超参数
hidden_1 = 32
hidden_2 = 16
mlp = nn.Sequential(
nn.Linear(input_size, hidden_1),
nn.ReLU(),
nn.Linear(hidden_1, hidden_2),
nn.ReLU(),
nn.Linear(hidden_2, output_size)
)
mlp_optim = torch.optim.Adam(mlp.parameters(), lr=learning_rate)
# MLP测试函数，相比于GRU少了中间变量
def test_mlp(mlp, x, pred_steps):
pred = []
inp = x.view(-1, input_size)
for i in range(pred_steps):
mlp_pred = mlp(inp)
pred.append(mlp_pred.detach())
inp = mlp_pred
return torch.concat(pred).reshape(-1)我们用完全相同的数据训练GRU和MLP。由于已经有了序列长度，我们不再设置SGD的批量大小，直接将每个训练样本单独输入模型进行优化。
python
max_epoch = 150
criterion = nn.functional.mse_loss
hidden = None # GRU的中间变量
# 训练损失
gru_losses = []
mlp_losses = []
gru_test_losses = []
mlp_test_losses = []
# 开始训练
with tqdm(range(max_epoch)) as pbar:
for epoch in pbar:
st = 0
gru_loss = 0.0
mlp_loss = 0.0
# 随机梯度下降
for X, y in zip(x_train, y_train):
# 更新GRU模型
# 我们不需要通过梯度回传更新中间变量
# 因此将其从有梯度的部分分离出来
if hidden is not None:
hidden.detach_()
gru_pred, hidden = gru(X[None, ...], hidden)
gru_train_loss = criterion(gru_pred.view(y.shape), y)
gru_optim.zero_grad()
gru_train_loss.backward()
gru_optim.step()
gru_loss += gru_train_loss.item()
# 更新MLP模型
# 需要对输入的维度进行调整，变成(seq_len, input_size)的形式
mlp_pred = mlp(X.view(-1, input_size))
mlp_train_loss = criterion(mlp_pred.view(y.shape), y)
mlp_optim.zero_grad()
mlp_train_loss.backward()
mlp_optim.step()
mlp_loss += mlp_train_loss.item()
gru_loss /= len(x_train)
mlp_loss /= len(x_train)
gru_losses.append(gru_loss)
mlp_losses.append(mlp_loss)
# 训练和测试时的中间变量序列长度不同，训练时为seq_len，测试时为1
gru_pred = test_gru(gru, x_test[0], hidden[:, -1], len(y_test))
mlp_pred = test_mlp(mlp, x_test[0], len(y_test))
gru_test_loss = criterion(gru_pred, y_test).item()
mlp_test_loss = criterion(mlp_pred, y_test).item()
gru_test_losses.append(gru_test_loss)
mlp_test_losses.append(mlp_test_loss)
pbar.set_postfix({
'Epoch': epoch,
'GRU loss': f'{gru_loss:.4f}',
'MLP loss': f'{mlp_loss:.4f}',
'GRU test loss': f'{gru_test_loss:.4f}',
'MLP test loss': f'{mlp_test_loss:.4f}'
})
最后，我们在测试集上对比GRU和MLP模型的效果并绘制出来。图中包含了原始数据的训练集和测试集的曲线，可以看出，GRU的预测基本符合测试集的变化规律，而MLP很快就因为缺乏足够的时序信息与测试集偏离。
python
# 最终测试结果
gru_preds = test_gru(gru, x_test[0], hidden[:, -1], len(y_test)).numpy()
mlp_preds = test_mlp(mlp, x_test[0], len(y_test)).numpy()
plt.figure(figsize=(13, 5))
# 绘制训练曲线
plt.subplot(121)
x_plot = np.arange(len(gru_losses)) + 1
plt.plot(x_plot, gru_losses, color='blue', label='GRU training loss')
plt.plot(x_plot, mlp_losses, color='red', ls='-.', label='MLP training loss')
plt.plot(x_plot, gru_test_losses, color='blue', ls='--', label='GRU test loss')
plt.plot(x_plot, mlp_test_losses, color='red', ls=':', label='MLP test loss')
plt.xlabel('Training step')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend(loc='lower left')
# 绘制真实数据与模型预测值的图像
plt.subplot(122)
plt.scatter(np.arange(split), data[:split], color='blue', s=10, label='training set')
plt.scatter(np.arange(split, num_data), data[split:], color='none', edgecolor='orange', s=10, label='test set')
plt.scatter(np.arange(split, num_data - 1), mlp_preds, color='violet', marker='x', alpha=0.4, s=20, label='MLP preds')
plt.scatter(np.arange(split, num_data - 1), gru_preds, color='green', marker='*', alpha=0.4, s=20, label='GRU preds')
plt.legend(loc='lower left')
plt.savefig('output_20_0.png')
plt.savefig('output_20_0.pdf')
plt.show()
附 ：以上文中的数据集及相关资源下载地址：
链接：https://pan.quark.cn/s/b485bdc0e8eb
提取码：NAn2