线性代数 第三讲 线性相关无关 线性表示
文章目录
- [线性代数 第三讲 线性相关无关 线性表示](#线性代数 第三讲 线性相关无关 线性表示)
- 1.向量运算
- 1.线性相关与线性无关
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- [1.1 线性相关与线性无关基本概念](#1.1 线性相关与线性无关基本概念)
- 2.线性表示（线性组合）
- 3.线性相关无关与线性表示的定理大总结
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- [3.1 向量β可由向量组线性表出的同义翻译](#3.1 向量β可由向量组线性表出的同义翻译)
- [3.2 向量组线性相关的同义翻译](#3.2 向量组线性相关的同义翻译)
- [3.3 向量组部分相关，整体相关，整体无关，部分无关](#3.3 向量组部分相关，整体相关，整体无关，部分无关)
- [3.4 缩短组线性无关，延伸组线性无关，延伸组线性相关，缩短组线性相关](#3.4 缩短组线性无关，延伸组线性无关，延伸组线性相关，缩短组线性相关)
- [3.5 线性表示和线性相关的联系(充要条件)](#3.5 线性表示和线性相关的联系(充要条件))
- [3.6 原本向量组线性无关，添加向量后线性相关](#3.6 原本向量组线性无关，添加向量后线性相关)
- [3.7 多数向量能用少数向量线性表出，那么多数向量一定线性相关](#3.7 多数向量能用少数向量线性表出，那么多数向量一定线性相关)
- [4. 重难点题型总结](#4. 重难点题型总结)
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- [4.1 证明向量组线性无关](#4.1 证明向量组线性无关)
- [4.2 判断线性无关(选择题)](#4.2 判断线性无关(选择题))
1.向量运算
加减数乘与矩阵一样
向量内积 :
内积记作(a , b),即（a，b）=a^T^b，内积还是矩阵乘法。
向量正交 :
正交：两个向量内积=0时，两个向量正交，在二维平面上，可以理解为两个向量垂直
向量的模长：每一个元素的平方加和，再取根号。
标准正交向量组 （规范正交基)：
定义：列向量组a~1~，a~2~，a~3~...a~s~,他们之间的乘积满足，任意两个列向量组(可以自身✖️自身），一个转置的情况，不同列向量组内积=0，自身✖️自身内积=1
正交矩阵 ：
设A是n阶方阵，满足ATA=E，就称A是正交矩阵，A的行(列)向量组是规范正交基。
作用：逆时针旋转，不改变性质，只改变位置
1.线性相关与线性无关
1.1 线性相关与线性无关基本概念
线性相关:
m个n维向量a~1~...，存在一组数k其中有不全为0的数 ，使得k~1~a~1~+k~2~a~2~+k~3~a~3~...=0成立，则称向量a~1~,a~2~...线性相关
简言之，就是有关系，没关系的情况下，只能k都等于0的情况下才能成立，有关系的话就可以做差了。
线性无关:
只有k全为0的情况下才成立
2.线性表示（线性组合）
m个n维向量(a~1~,a~2~,a~3~...)和m个数(k~1~,k~2~,k~3~...),k~1~a~1~+k~2~a~2~+k~3~a~3~...=β,称为β是 a~1~,a~2~,a~3~...的线性组合，或者说β由a~1~,a~2~,a~3~...的线性表示。
注意：这里的线性表示是向量由向量组表示，不是向量组与向量组的，向量组和向量组之间的线性表示，意味着，某个向量组的全部向量，都可以由另一个向量组线性表示。
3.线性相关无关与线性表示的定理大总结
3.1 向量β可由向量组线性表出的同义翻译
3.2 向量组线性相关的同义翻译
解释说明：
秩是线性无关向量的个数，要想让向量组线性相关，自然秩要小于向量组中向量的个数
推论:
- n个n维向量组成的向量组，线性相关的充分必要条件是行列式|a~1~,a~2~,a~3~...|=0（克莱默法则，主要是行列式好算）
- n+1个n维向量一定线性相关
3.3 向量组部分相关，整体相关，整体无关，部分无关
如果向量组a1，a2，a3，...中一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。
逆否命题：如果a1，a2，a3，...线性无关，则其任一一部分向量组都线性无关。
3.4 缩短组线性无关，延伸组线性无关，延伸组线性相关，缩短组线性相关
3.5 线性表示和线性相关的联系(充要条件)
若一个向量组线性相关，则必有一个向量可有其余的向量线性表示。
反之也成立。
3.6 原本向量组线性无关，添加向量后线性相关
新添加的向量必由原本向量组的其余向量唯一表示
3.7 多数向量能用少数向量线性表出，那么多数向量一定线性相关
多数向量中，肯定有能被约掉的，所以线性相关。
r(少数向量组)≥r(多数向量组)
4. 重难点题型总结
4.1 证明向量组线性无关
方法一:定义法
核心思想：通过恒等变形解决问题：
恒等变形两条路径:
- 乘
- 重组
例1 :已知α~1~，α~2~，α~3~线性无关，证明3α~1~+2α~2~，α~2~-α~3~，4α~3~-5α~1~线性无关
例2 :设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若A^m-1^α≠0,A^m^α=0,证明向量组α，Aα，A^2^α，...A^m-1^α线性无关
方法二:秩
理论基础:
r(AB)≤min(r(A),r(B)),若A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)
例1:已知α~1~，α~2~，α~3~线性无关，证明3α~1~+2α~2~，α~2~-α~3~，4α~3~-5α~1~线性无关
证明向量组的秩(线性无关向量的个数就是秩)为3，即可说明向量组线性无关
例2:A是m*n维矩阵,r(A)=n,α~1~,α~2~,α~3~ n维无关，证明Aα~1~,Aα~2~,Aα~3~线性无关
证明如下:
(Aα~1~,Aα~2~,Aα~3~)=A(α~1~,α~2~,α~3~)
因为r(A)=n,A可逆
r(Aα~1~,Aα~2~,Aα~3~)=r(α~1~,α~2~,α~3~)=3
故Aα~1~,Aα~2~,Aα~3~线性无关
4.2 判断线性无关(选择题)
已知向量组α~1~,α~2~,α~3~线性无关，则下列向量组中，线性无关的是
(A)α~1~+α~2~，α~2~+α~3~，α~3~+α~1~
(B)α~1~+α~2~，α~2~+2α~3~，α~1~+2α~2+~α~3~，α~1~-α~2~+5α~3~
(C)α~1~+2α~2~，2α~2~+3α~2~，3α~3~-α~1~
(D)α~1~+α~2~-α~3~，2α~1~+3α~2~+12α~3~，3α~1~+5α~2~+25α~3~
该类问题，用观察法+秩判断
观察法举例:
如B选项，4个向量由α~1~,α~2~,α~3~三个向量表示，多数由少数表示，多数必是线性相关的
如C选项，通过加加减减能=0，说明他们是线性相关的