Python世界：求解满足某完全平方关系的整数实践

任务背景

本问题来自于菜鸟教程Python 100例中的例3:

一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？

实现思路

本文较原问题无改进，仅做实现验证，以助个人理解。

问题分析

假设该整数为x，依据题意可转化为以下公式：
x + 100 = n 2 ( 1 ) x + 100 + 168 = m 2 ( 2 ) x + 100 = n^2 \ \ (1)\\ x + 100 + 168 = m^2 \ \ (2)\\ x+100=n2 (1)x+100+168=m2 (2)

由公式1和2，可推导并转化为以下公式：

( m − n ) ( m + n ) = 168 ( 3 ) i ∗ j = 168 ( 4 ) m = ( i + j ) / 2 ( 5 ) n = ( − i + j ) / 2 ( 6 ) (m - n)(m + n) = 168 \ \ (3)\\ i*j = 168 \ \ (4)\\ m = (i + j) / 2 \ \ (5)\\ n = (-i + j) / 2 \ \ (6)\\ (m−n)(m+n)=168 (3)i∗j=168 (4)m=(i+j)/2 (5)n=(−i+j)/2 (6)

以上推导，目的是为了将数学问题转化为计算机可求解的问题，核心看公式4，时刻注意前提x, m, n, i, j均为整数。

从公式1-2，易知：

m, n正负不影响x的结果

从公式3-6，易知：

i, j必须均为偶数，且两者同正同负
i, j其中最小至少为2
i, j其中最大至多为168/2

由此可知，问题简化为i, j均为正整数，i, j遍历区间为[2, 168/2]，寻找满足公式4-6的i, j，然后反求x。

参考代码

python 复制代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
功能：求例3的x值
1、初步分析限定范围
2、限定整数范围内遍历求解
"""

def find_x():
    x = []

    # i, j is even
    upper_bound = 168 // 2 + 1 # 加1目的是因为range左开右闭
    for i in range(2, upper_bound, 2):
        j = 168 // i # `//` 实现整数除法
        if j % 2 == 0:
            is_even = True
        else:
            is_even = False
        if i < j and i * j == 168 and is_even: # i, j地位等价，i>j时只是位置交换，x结果不变，故没必要遍历
            res = int(((i + j) / 2) ** 2 - 268)
            x.append(res)
    return x


if __name__ == '__main__':
    print('start!')

    # 正式运行
    x = find_x()
    print(x)

    # 正式退出main函数进程，以免main函数空跑
    print('done!')

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实现思路

参考资料