CSP 2023 提高级第一轮 CSP-S 2023初试题 完善程序第二题解析 未完

一、题目阅读

（最大值之和）给定整数序列 a0,⋯,an−1，求该序列所有非空连续子序列的最大值之和。上述参数满足 1≤n≤105 和 1≤ai≤108。

一个序列的非空连续子序列可以用两个下标 ll 和 rr（其中0≤l≤r<n0≤l≤r<n）表示，对应的序列为 al,al+1,⋯,ar​。两个非空连续子序列不同，当且仅当下标不同。

例如，当原序列为 [1,2,1,2] 时，要计算子序列 [1]、[2]、[1]、[2]、[1,2]、[2,1]、[1,2]、[1,2,1]、[2,1,2]、[1,2,1,2] 的最大值之和，答案为 18。注意 [1,1] 和 [2,2] 虽然是原序列的子序列，但不是连续子序列，所以不应该被计算。另外，注意其中有一些值相同的子序列，但由于他们在原序列中的下标不同，属于不同的非空连续子序列，所以会被分别计算。

解决该问题有许多算法，以下程序使用分治算法，时间复杂度 O(nlogn)。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;

int n;
int a[MAXN];
long long ans;

void solve(int l, int r) {
    if (l + 1 == r) {
        ans += a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    std::vector<int> pre(a + mid, a + r);
    for (int i = 1; i < r - mid; ++i) ①;
    std::vector<long long> sum(r - mid + 1);
    for (int i = 0; i < r - mid; ++i)
        sum[i + 1] = sum[i] + pre[i];
    for (int i = mid - 1, j = mid, max = 0; i >= l; --i) {
        while (j < r && ②) ++j;
        max = std::max(max, a[i]);
        ans += ③;
        ans += ④;
    }
    solve(l, mid);
    solve(mid, r);
}

int main() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        std::cin >> a[i];
    ⑤;
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}

二、程序分析

‌主要思路‌：‌将数组分成两部分，‌分别求解两部分的最大矩形和，‌然后合并两部分的结果。‌在合并的过程中，‌考虑跨越中点的最大矩形，‌通过预处理和前缀和技巧优化计算。