1. 冒泡排序（Bubble Sort）
基本原理：
- 冒泡排序是一种简单的交换排序算法，它通过重复地遍历要排序的数列，依次比较相邻的两个元素，并在顺序错误时交换它们的位置。每一轮遍历后，最大的元素会"冒泡"到数列的末尾，因此称为冒泡排序。这个过程不断重复，直到整个序列有序为止
- 初始状态：从序列的第一个元素开始，依次比较相邻的两个元素。
- 元素比较与交换 ：
- 如果前一个元素大于后一个元素，则交换它们的位置。
- 否则，保持原位，不做交换。
- 冒泡 ：
- 每一轮比较结束后，当前轮次最大的元素会被交换到数列的末尾，这个元素不再参与下一轮的比较。
- 重复 ：
- 不断缩小比较的范围（不包含已经冒泡到末尾的元素），重复上述过程，直到整个序列有序。
时间复杂度：
- 最坏情况：O(n2)
- 平均情况：O(n2)
- 最优情况：当输入已经有序时，时间复杂度为 O(n)
优缺点：
- 优点：实现简单，代码容易理解。
- 缺点：效率低，尤其对于大规模数据集不适用。
2. 选择排序（Selection Sort）
基本原理：
- 选择排序每次从未排序部分中选出最小（或最大）的元素，放到已排序部分的末尾。这个过程不断进行，直到所有元素都已排序。
时间复杂度：
- 最坏情况：O(n2)
- 平均情况：O(n2)
- 最优情况：O(n2)（即使输入有序，选择排序仍需要遍历整个序列）
优缺点：
- 优点：交换次数较少，相对适合交换代价高的情况。
- 缺点：整体效率较低，不适用于大规模数据集。
3. 插入排序（Insertion Sort）
基本原理：
- 插入排序通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到合适位置并插入。
时间复杂度：
- 最坏情况：O(n2)
- 平均情况：O(n2)
- 最优情况：当输入有序时，时间复杂度为 O(n)
优缺点：
- 优点：对于几乎有序的数据非常高效，且是一种稳定的排序算法。
- 缺点：对于大规模数据，效率较低。
4. 希尔排序（Shell Sort）
基本原理：
-
希尔排序，也称递减增量排序，是插入排序的一种改进版本。它通过将整个序列按一定的"增量"分组，对每组内的元素进行插入排序，然后逐步减小增量，最后当增量为1时，对整个序列进行一次标准的插入排序。这种分组的过程使得数据在初期的插入排序时可以大幅度移动，从而减少了后期插入排序的总移动次数，提高了整体效率。
希尔排序的核心思想是通过多次插入排序的过程，使数据逐步接近有序状态，从而在最后一轮增量为1的插入排序中发挥出最佳性能。
具体步骤
- 选择增量序列：选择一个初始的增量 ddd，通常从序列长度的一半开始，如 d=⌊n/2⌋d = \lfloor n/2 \rfloord=⌊n/2⌋。
- 分组排序：将序列中的元素根据增量 ddd 进行分组，每组元素按位置间隔为 ddd 进行插入排序。
- 缩小增量：将增量缩小（通常为之前的一半，如 d=⌊d/2⌋d = \lfloor d/2 \rfloord=⌊d/2⌋），重复步骤2，直到增量为1时进行最后一轮插入排序。
时间复杂度
- 最坏情况：最坏情况下时间复杂度与增量序列的选择有关，但通常认为接近 O(n^2)。
- 平均情况：希尔排序的平均时间复杂度较为复杂，通常介于 O(n^1.3) 和 O(n^1.5) 之间，具体取决于增量序列的选择。
- 最优情况：当数据初始接近有序时，希尔排序的时间复杂度可以接近 O(nlogn)。
增量序列的选择
增量序列的选择对希尔排序的性能有很大影响。常见的增量序列有：
- 简单的二分法：如 d=⌊n/2⌋,⌊n/4⌋,...,1d ,⌊n/4⌋,...,1。
- Hibbard增量
- Sedgewick增量。
增量序列的选择是影响希尔排序性能的关键因素。理论上，Sedgewick增量被认为是较好的选择，因为它能够在更广泛的情况下提供优良的性能。
优点：
- 高效性：比直接插入排序效率高，特别是对于较大规模的数据集合，希尔排序的性能显著优于插入排序。
- 灵活性：通过选择不同的增量序列，希尔排序可以适应不同的应用场景。
- 空间效率高：希尔排序是一种原地排序算法，所需的额外空间非常少，空间复杂度为 O(1)。
缺点：
- 不稳定：希尔排序并不是稳定的排序算法，因为同样大小的元素可能会因为间隔分组被放置到不同的位置，从而改变它们的相对顺序。
- 复杂性：增量序列的选择对排序效率影响很大，不同的增量序列可能导致不同的性能表现，因此算法实现和优化较为复杂。
5. 归并排序（Merge Sort）
基本原理：
- 归并排序是一种基于分治法（Divide and Conquer）的排序算法。它将一个大的问题分解成若干个小问题，分别解决这些小问题，然后合并解决结果。具体到排序问题上，归并排序将序列递归地分成两半，直到每部分的长度为1，然后再将这些部分逐层合并，最终形成一个有序的序列。
时间复杂度：
- 最坏情况：O(nlogn)
- 平均情况：O(nlogn)
- 最优情况：O(nlogn)
优缺点：
- 优点：稳定的排序算法，适用于处理大规模数据，尤其是数据量较大的链表排序。
- 缺点：需要额外的 O(n)空间来存储中间结果。
6. 快速排序（Quick Sort）
基本原理：
- 快速排序也是一种分治算法。它通过选择一个基准元素，将数据分为两部分，使得左边部分所有元素都小于基准元素，右边部分所有元素都大于基准元素，然后递归地对两部分进行排序。
时间复杂度：
- 最坏情况：O(n2)（当每次选到的基准都是当前最小或最大元素时）
- 平均情况：O(nlogn)
- 最优情况：O(nlogn)
优缺点：
- 优点：平均性能非常好，常常比其他 O(nlogn)的算法更快，且就地排序无需额外空间。
- 缺点：不稳定，最坏情况下效率较低。
7. 堆排序（Heap Sort）
基本原理：
具体步骤
-
堆排序是一种基于堆这种数据结构的比较排序算法。堆是一棵完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于（大顶堆）或小于或等于（小顶堆）其子节点的值。堆排序通过将数组构造成一个堆，并反复将堆顶元素（最大或最小值）与堆的最后一个元素交换，逐步缩小堆的范围来完成排序。
堆排序主要分为两个步骤：
-
构建初始堆：将无序数组构造成一个堆。
-
排序：反复将堆顶元素（最大或最小值）与堆的最后一个元素交换，然后将剩下的元素重新调整为堆，直到所有元素都被排序。
-
构建堆：
- 对于一个长度为 n 的数组，初始堆的构建是从最后一个非叶子节点开始，向前遍历并调整各个子树为堆。
- 具体做法是从下到上、从右到左调整每个节点为根的子树为堆。
-
堆排序：
- 每次将堆顶元素（即堆中的最大值或最小值）与最后一个元素交换，缩小堆的范围，并调整剩下的元素重新成为堆。
- 重复此过程，直到整个数组有序。
时间复杂度：
- 最坏情况：O(nlogn)
- 平均情况：O(nlogn)
- 最优情况：O(nlogn)
优缺点：
- 优点：性能良好，不受输入数据特性影响，且不需要额外的存储空间（与归并排序相比）。
- 缺点：不稳定，且相比快速排序，实际应用中的常数因子稍大。
8. 计数排序（Counting Sort）
基本原理：
- 计数排序是一种非比较排序算法。它适用于数据范围有限的情况，通过统计每个元素出现的次数来确定它们在排序后的序列中的位置。
时间复杂度：
- 最坏情况：O(n+k)，其中 k是数据范围
- 平均情况：O(n+k)
- 最优情况：O(n+k)
优缺点：
- 优点：效率高，适用于范围有限的整数排序。
- 缺点：受限于数据范围，且需要额外空间存储计数结果，空间复杂度为 O(k)O(k)O(k)。
9. 桶排序（Bucket Sort）
基本原理：
- 桶排序将数据分配到有限数量的桶中，分别对每个桶内的数据进行排序（通常使用插入排序或其他排序算法），然后依次合并桶中的数据得到最终排序结果。
时间复杂度：
- 最坏情况：O(n2)
- 平均情况：O(n+k)，其中 k 是桶的数量
- 最优情况：O(n+k)
优缺点：
- 优点：在数据均匀分布的情况下非常高效，特别适用于外部排序和浮点数排序。
- 缺点：需要对数据的分布有所了解，且需要额外的空间来存储桶。
9. 基数排序（Radix Sort）
基本原理：
- 基数排序是一种非比较排序算法，按位对数据进行排序，通常从最低位到最高位（或相反顺序），通过稳定的排序算法（如计数排序）依次对各位排序，最终得到有序序列。
时间复杂度：
- 最坏情况：O(n⋅d)，其中 d 是位数
- 平均情况：O(n⋅d)
- 最优情况：O(n⋅d)
优缺点：
- 优点：适用于整数排序，效率较高，尤其是在位数较小的情况下。
- 缺点：受限于数据的位数，且需要额外的空间来进行多轮排序。
| 排序方法 | 时间复杂度 | 辅助空间 | 稳定性 |
|---|---|---|---|
| 直接插入 | O(n^2) | O(1) | 稳定 |
| 简单选择 | O(n^2) | O(1) | 不稳定 |
| 冒泡排序 | O(n^2) | O(1) | 稳定 |
| 希尔排序 | O(n^1.3) | O(1) | 不稳定 |
| 快速排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | 不稳定 |
| 堆排序 | O(nlogn) | O(1) | 不稳定 |
| 归并排序 | O(nlogn) | O(n) | 稳定 |
| 基数排序 | O(d(n+rd)) | O(rd) | 稳定 |