数学建模笔记——TOPSIS[优劣解距离]法

数学建模笔记------TOPSIS[优劣解距离法]

TOPSIS(优劣解距离)法
- [1. 基本概念](#1. 基本概念)
- [2. 模型原理](#2. 模型原理)
- [3. 基本步骤](#3. 基本步骤)
- [4. 典型例题](#4. 典型例题)
- - [4.1 矩阵正向化](#4.1 矩阵正向化)
  - [4.2 正向矩阵标准化](#4.2 正向矩阵标准化)
  - [4.3 计算得分并归一化](#4.3 计算得分并归一化)
  - [4.4 python代码实现](#4.4 python代码实现)

TOPSIS(优劣解距离)法

1. 基本概念

C. L.Hwang和 K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution),可翻译为逼近理想解排序法,国内常简称为优劣解距离法。

TOPSIS法是一种常用的综合评价方法,能充分利用原始数据的信息,其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

TOPSIS法引入了两个基本概念:

理想解:设想的最优的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值;
负理想解:设想的最劣的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较,若其中有一个方案最接近理想解,而同时又远离负理想解,则该方案是备选方案中最好的方案。TOPSIS通过最接近理想解且最远离负理想解来确定最优选择。

2. 模型原理

TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后(去量纲化)的数据规范化矩阵,找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理归想一解化和反理想解表示),分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0~1之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。

3. 基本步骤

将原始矩阵正向化

将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标
将正向化矩阵标准化

标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，保证不同评价指标在同一数量级，且数据大小排序不
计算得分并归一化

S i = D i − D i + + D i − S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}} Si=Di++Di−Di−,其中 S i S_{i} Si为得分, D i + {D_{i}^{+}} Di+为评价对象与最大值的距离， D i − D_{i}^{-} Di−

为评价对象与最小值的距离。

4. 典型例题

明星Kun想找一个对象，但喜欢他的人太多，不知道怎么选，经过层层考察，留下三个候选人。他认为身高165是最好的，体重在90-100斤是最好的。

候选人颜值牌气(争吵次数) 身高体重

A 9 10 175 120

B 8 7 164 80

C 6 3 157 90

候选人	颜值	牌气(争吵次数)	身高	体重
A	9	10	175	120
B	8	7	164	80
C	6	3	157	90

4.1 矩阵正向化

常见的指标类型：

指标名称	指标特点	例子
极大型 (效益型) 指标	越大(多)越好	成绩、 GDP增速、企业利润
极小型 (成本型) 指标	越小(少)越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

在 TOPSIS 方法中，就是要将所有指标进行统一正向化，即统一转化为极大型指标。 那么就需要极小型、中间型以及区间型的指标进行转化为极大型指标。

指标名称	公式
极大型(效益型)指标	/
极小型(成本型)指标	x ~ = m a x − x \tilde{x} = max-x x~=max−x, x ~ \tilde{x} x~为指标值, m a x max max为指标最大值, x x x为指标值
中间型指标	{ x i } \{x_i\} {xi} 是一组中间型序列，最优值是 x b e s t x_{best} xbest，$M = max{
区间型指标	x i {x_i} xi是一组区间型序列，最佳区间为 [ a , b ] [a,b] [a,b]，正向化公式如下 M = m a x { a − m i n { x i } , m a x { x i } − b } , x ~ i = { 1 − a − x i M , x i < a 1 , a ≤ x i ≤ b 1 − x i − b M , x i > b M=max\{a-min\{x_i\}, max\{x_i\}-b\}, \widetilde{x}_i=\begin{cases}1-\frac{a-x_i}{M}, x_i<a\\1, a\leq x_i\leq b\\1-\frac{x_i-b}{M}, x_i>b\end{cases} M=max{a−min{xi},max{xi}−b},x i=⎩ ⎨ ⎧1−Ma−xi,xi<a1,a≤xi≤b1−Mxi−b,xi>b

颜值为极大型指标
脾气为极小型指标

候选人颜值 m a x max max m a x − x max-x max−x

A 10 10 0

B 7 10 3

C 3 10 7
身高为中间型指标

候选人身高 x b e s t x_{best} xbest | x i − x b e s t x_i-x_{best} xi−xbest| x ^ i \hat{x}_i x^i

A 175 165 10 1

B 164 165 1 1/10

C 157 165 8 8/10
体重为区间型指标

候选人体重 M M M x ^ i \hat{x}_i x^i

A 120 20 0

B 80 20 1/2

C 90 20 1

候选人	颜值	m a x max max	m a x − x max-x max−x
A	10	10	0
B	7	10	3
C	3	10	7

候选人	身高	x b e s t x_{best} xbest	\| x i − x b e s t x_i-x_{best} xi−xbest\|	x ^ i \hat{x}_i x^i
A	175	165	10	1
B	164	165	1	1/10
C	157	165	8	8/10

候选人	体重	M M M	x ^ i \hat{x}_i x^i
A	120	20	0
B	80	20	1/2
C	90	20	1

正向化后的矩阵为

候选人	颜值	牌气(争吵次数)	身高	体重
A	9	0	0	0
B	8	3	0.9	0.5
C	6	7	0.2	1

4.2 正向矩阵标准化

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响

假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：
X = [ x 11 x 12 ⋯ x 1 m x 21 x 22 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 x n 2 ⋯ x n m ] X=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1m}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nm}\end{bmatrix} X= x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1mx2m⋮xnm

那么对其标准化后的矩阵记为Z，Z的每一个元素：
z i j = x i j ∑ i = 1 n x i j 2 z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}} zij=∑i=1nxij2 xij

即（每一个元素/根号下所在列元素的平方和）得到标准化矩阵Z:
Z = [ z 11 z 12 ⋯ z 1 m z 21 z 22 ⋯ z 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n m ] Z=\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}&\cdots&z_{1m}\\z_{21}&z_{22}&\cdots&z_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\z_{n1}&z_{n2}&\cdots&z_{nm}\end{bmatrix} Z= z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm

标准化后，还需要给不同指标加上权重，采用的权重确定方法有层次分析法、熵权法、Delphi法、对数最小二乘法。这里认为各个指标权重相同。

对上述矩阵进行标准化，得

候选人	颜值	牌气(争吵次数)	身高	体重
A	0.669	0	0	0
B	0.595	0.394	0.976	0.447
C	0.446	0.919	0.217	0.894

4.3 计算得分并归一化

定义最大值：

Z + = ( m a x { z 11 , z 21 , ⋯ , z n 1 } , m a x { z 12 , z 22 , ⋯ , z n 2 } , ⋯ , m a x { z 1 m , z 2 m , ⋯ , z n m } ) Z^+=(max\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,max\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\}) Z+=(max{z11,z21,⋯,zn1},max{z12,z22,⋯,zn2},⋯,max{z1m,z2m,⋯,znm})

定义最小值：
Z − = ( m i n { z 11 , z 21 , ⋯ , z n 1 } , m i n { z 12 , z 22 , ⋯ , z n 2 } , ⋯ , m i n { z 1 m , z 2 m , ⋯ , z n m } ) Z^-=(min\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,min\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\}) Z−=(min{z11,z21,⋯,zn1},min{z12,z22,⋯,zn2},⋯,min{z1m,z2m,⋯,znm})

定义第i (i=1,2,...,n) 个评价对象与最大值的距离：
D i + = ∑ j = 1 m ( Z j + − z i j ) 2 D_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^+-z_{ij})^2} Di+=j=1∑m(Zj+−zij)2

定义第i (i=1,2,...,n) 个评价对象与最小值的距离：
D i − = ∑ j = 1 m ( Z j − − z i j ) 2 D_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^m(Z_j^--z_{ij})^2} Di−=j=1∑m(Zj−−zij)2

那么，我们可以计算得出第 i( i=1,2,...,n) 个评价对象未归一化的得分：
S i = D i − D i + + D i − S_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-} Si=Di++Di−Di−

很明显 0≤Si≤1,且 Si 越大 Di+ 越小，即越接近最大值。

我们可以将得分归一化并换成百分制：
S i ~ = S i ∑ i = 1 n S i × 100 \widetilde{S_{\mathrm{i}}}=\frac{S_{\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^{n}S_{\mathrm{i}}}\times100 Si =∑i=1nSiSi×100

4.4 python代码实现

python 复制代码

import numpy as np

# 从用户输入参评数目和指标数目
print("请输入参评数目：")
n = int(input())
print("请输入指标数目：")
m = int(input())

# 接受用户输入的类型矩阵
print("请输入类型矩阵：1. 极大型 2. 极小型 3. 中间型 4.区间型")
kind = input().split(" ")

# 接受用户输入的矩阵并转化为向量
print("请输入矩阵：")
A = np.zeros(shape=(n, m))
for i in range(n):
    A[i] = input().split(" ")
    A[i] = list(map(float, A[i]))
print("输入矩阵为：\n{}".format(A))

# 极小型指标转化为极大型指标的函数


def minTomax(maxx, x):
    x = list(x)
    ans = [[(maxx-e) for e in x]]
    return np.array(ans)

# 中间型指标转化为极大型指标的函数


def midTomax(bestx, x):
    x = list(x)
    h = [abs(e-bestx) for e in x]
    M = max(h)
    if M == 0:
        M = 1  # 防止最大差值为0的情况
    ans = [[1-(e/M) for e in h]]
    return np.array(ans)

# 区间型指标转化为极大型指标的函数


def regTomax(lowx, highx, x):
    x = list(x)
    M = max(lowx-min(x), max(x)-highx)
    if M == 0:
        M = 1  # 防止最大差值为0的情况
    ans = []
    for i in range(len(x)):
        if x[i] < lowx:
            ans.append(1-(lowx-x[i])/M)
        elif x[i] > highx:
            ans.append(1-(x[i]-highx)/M)
        else:
            ans.append(1)
    return np.array([ans])


# 同一指标类型，将所有指标转化为极大型指标
X = np.zeros(shape=(n, 1))
for i in range(m):
    if kind[i] == "1":
        v = np.array(A[:, i])
    elif kind[i] == "2":
        maxA = max(A[:, i])
        v = minTomax(maxA, A[:, i])
    elif kind[i] == "3":
        print("类型三，请输入最优值：")
        bestA = eval(input())
        v = midTomax(bestA, A[:, i])
    elif kind[i] == "4":
        print("类型四，请输入区间[a,b]值a：")
        lowA = eval(input())
        print("类型四，请输入区间[a,b]值b：")
        highA = eval(input())
        v = regTomax(lowA, highA, A[:, i])
    if i == 0:
        X = v.reshape(-1, 1)  # 如果是第一个指标，直接赋值
    else:
        X = np.hstack((X, v.reshape(-1, 1)))  # 如果不是第一个指标，横向拼接
print("统一指标后矩阵为：\n{}".format(X))

# 对统一指标后的矩阵进行标准化处理
X = X.astype(float)  # 将X转化为浮点型
for i in range(m):
    X[:, i] = X[:, i]/np.sqrt(sum(X[:, i]**2))  # 对每一列进行归一化处理，即除以该列的欧几里得范数
print("标准化后矩阵为：\n{}".format(X))

# 最大值和最小值距离的计算
x_max = np.max(X, axis=0)  # 计算每一列的最大值
x_min = np.min(X, axis=0)  # 计算每一列的最小值
# 计算每一个参评对象与最优情况的距离d+
d_z = np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_max, (n, 1))), axis=1))
# 计算每一个参评对象与最差情况的距离d-
d_f = np.sqrt(np.sum(np.square(X-np.tile(x_min, (n, 1))), axis=1))
print("每个指标的最大值为：{}".format(x_max))
print("每个指标的最小值为：{}".format(x_min))

# 计算每一个参评对象的综合得分
s = d_f/(d_f+d_z)  # 根据d+和d-计算每一个参评对象的得分，其中s接近1表示越好，接近0表示越差
Score = 100*s/sum(s)  # 将得分转换为百分制
for i in range(n):
    print(f"第{i+1}个参评对象的得分为：{Score[i]}")

输入：

请输入参评数目：
3
请输入指标数目：
4
请输入类型矩阵：1. 极大型 2. 极小型 3. 中间型 4.区间型
1 2 3 4
请输入矩阵：
9 10 175 120
8 7 164 80
6 3 157 90
输入矩阵为：
[[  9.  10. 175. 120.]
 [  8.   7. 164.  80.]
 [  6.   3. 157.  90.]]
类型三，请输入最优值：
165
类型四，请输入区间[a,b]值a：
90
类型四，请输入区间[a,b]值b：
100

输出:

统一指标后矩阵为：
[[9.  0.  0.  0. ]
 [8.  3.  0.9 0.5]
 [6.  7.  0.2 1. ]]
标准化后矩阵为：
[[0.66896473 0.         0.         0.        ]
 [0.59463532 0.3939193  0.97618706 0.4472136 ]
 [0.44597649 0.91914503 0.21693046 0.89442719]]
每个指标的最大值为：[0.66896473 0.91914503 0.97618706 0.89442719]
每个指标的最小值为：[0.44597649 0.         0.         0.        ]
第1个参评对象的得分为：8.886366735657832
第2个参评对象的得分为：45.653341055701134
第3个参评对象的得分为：45.46029220864103