LeetCode: 673.最长子序列的数量 动态规划 时间复杂度O(n*n)

673.最长子序列的数量

LeetCode原题连接 673. 最长子序列的数量

题目描述

给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。

示例 1:

输入: [1,3,5,4,7]
输出: 2
解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和 [1, 3, 5, 7]。

示例 2:

输入: [2,2,2,2,2]
输出: 5
解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。

提示：

• 0 <= nums.length <= 2000
• -10^6 <= nums[i] <= 10^6

题目解析

这道题是Leetcode 300. 最长递增子序列的进阶版本，我们不仅要找到最长子序列，还要找到最长子序列的个数。写该题之间建议先完成Leetcode 300. 最长递增子序列。我们在以前的博客中已经详细介绍过寻找最长递增子序列的算法。

接下来，我们对算法进行改造，以解决这个更为复杂的问题。

在原来的算法中，我们维护一个数组dp[i],表示nums中前i个元素的最长递增子序列的长度。我们对dp数组进行更新，具体的更新规则如下：

1. 如果nums[i] > nums[j], 且dp[j] + 1 > dp[i], 则dp[i] = dp[j] + 1,0 <= j < i。
2. 否则，dp[i] = dp[i]。

现在，我们不仅需要知道，nums中前i个元素的最长递增子序列的长度，还需要知道，nums中前i个元素的最长递增子序列的个数。

我们可以维护一个数组count[i],表示nums中前i个元素的最长递增子序列的个数。我们对count数组进行更新，具体的更新规则如下：

1. 如果nums[i] > nums[j], 且dp[j] + 1 == dp[i], 则count[i] += count[j],0 <= j < i。这表示当前长度为dp[i]的最长递增子序列，可以由前j个元素的最长递增子序列延伸得到。
2. 如果nums[i] > nums[j], 且dp[j] + 1 > dp[i]，则count[i] = count[j]。这表示当前dp[i]并不是以nums[i]结尾的最长递增子序列，最长递增子序列长度应该更新为 dp[j] + 1。那么count[i] = count[j]，表示当前长度为dp[j]+1的最长递增子序列，只能由前j个元素的最长递增子序列延伸得到。

这样，我们就得到了nums中前i个元素的最长递增子序列长度和对应的最长子序列的个数。

接下来，只要将dp数组中最大的元素（即最长子序列的长度），在count数组中对应的值累加起来，就可以得到nums中最长递增子序列的个数。

复杂度分析：

• 时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，其中 n 是数组 nums 的长度。
• 空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)，其中 n 是数组 nums 的长度。

代码实现

Go版本：

func findNumberOfLIS(nums []int) int {
        n:=len(nums)  // dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度 
        dp:=make([]int,n) // cnt[i] 表示以 nums[i] 结尾的、长度为 dp[i] 的递增子序列的个数 
        cnt:=make([]int,n)
        maxLen:=1
        cnt[0]=1
        dp[0]=1
        for i:=1;i<n;i++{
            cnt[i]=1
            dp[i]=1
            for j:=0;j<i;j++{
                if(nums[i]>nums[j]){
                    if(dp[i]==dp[j]+1){
                        cnt[i]+=cnt[j]
                    }else if(dp[i]<dp[j]+1){
                        cnt[i]=cnt[j]
                        dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)
                    }
                }
            }
            maxLen=max(maxLen,dp[i])
        }
        res:=0
        for i:=0;i<n;i++{
            if(dp[i]==maxLen){
                res+=cnt[i]
            }
        }
        return res
}

Python版本：

class Solution(object):
    def findNumberOfLIS(self, nums):
        n = len(nums)  
        dp = [1] * n   # dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度 
        cnt = [1] * n  # cnt[i] 表示以 nums[i] 结尾的、长度为 dp[i] 的递增子序列的个数
        max_len = 1  
        for i in range(1, n):  
            for j in range(i):  
                if nums[i] > nums[j]:  
                    if dp[i] == dp[j] + 1:  
                        cnt[i] += cnt[j]  
                    elif dp[i] < dp[j] + 1:  
                        dp[i] = dp[j] + 1  
                        cnt[i] = cnt[j]  
    
            max_len = max(max_len, dp[i])  
        res = 0  
        for i in range(n):  
            if dp[i] == max_len:  
                res += cnt[i]  
        return res

C++版本：

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();  
        vector<int> dp(n, 1);  // dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度  
        vector<int> cnt(n, 1); // cnt[i] 表示以 nums[i] 结尾的、长度为 dp[i] 的递增子序列的个数  
        int max_len = 1;  
    
        for (int i = 1; i < n; ++i) {  
            for (int j = 0; j < i; ++j) {  
                if (nums[i] > nums[j]) {  
                    if (dp[i] == dp[j] + 1) {  
                        cnt[i] += cnt[j];  
                    } else if (dp[i] < dp[j] + 1) {  
                        dp[i] = dp[j] + 1;  
                        cnt[i] = cnt[j];  
                    }  
                }  
            }  
            max_len = max(max_len, dp[i]);  
        }  
    
        int res = 0;  
        for (int i = 0; i < n; ++i) {  
            if (dp[i] == max_len) {  
                res += cnt[i];  
            }  
        }  
    
        return res;  
    }
};