【高阶数据结构】跳表

LuckyRich12024-09-14 15:56

跳表

  • [1. 什么是跳表-skiplist](#1. 什么是跳表-skiplist)
  • [2. skiplist的效率如何保证？](#2. skiplist的效率如何保证？)
  • [3. skiplist的实现](#3. skiplist的实现)
    • [3.1 skiplist的节点](#3.1 skiplist的节点)
    • [3.2 skiplist的查找](#3.2 skiplist的查找)
    • [3.3 skiplist的插入](#3.3 skiplist的插入)
    • [3.4 skiplist的删除](#3.4 skiplist的删除)
    • [3.5 skiplist的完整代码](#3.5 skiplist的完整代码)
  • [4. skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比](#4. skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比)

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1. 什么是跳表-skiplist

skiplist本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型。那么相比而言它的优势是什么呢？这么等我们学习完它的细节实现，我们再来对比。

skiplist是由William Pugh发明的，最早出现于他在1990年发表的论文《Skip Lists: A

Probabilistic Alternative to Balanced Trees》。

skiplist，顾名思义，首先它是一个list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是O(N)。

William Pugh开始的优化思路：

  1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。

这样查找的效率就能提高一倍。比如查找26，以前是O(N)，现在多了一层，仅需要跳N/2次。查找链表中其他节点相比于之前也更快。如查找12。比6大往右走，比9大往右走，比17小往下走，跟12相等找到了。

注意查找永远跟下一个比，比它大往右走，比它小往下走。

  1. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图c，这样搜索效率就进一步提高了。

  1. skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半 ，这样查找过程就非常类似二分查找 ，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)。

  2. skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程入下图：

每个节点插入和删除跟其他节点没有关系，都是独立的，不需要调整其他节点的层数。

2. skiplist的效率如何保证？

上面我们说到，skiplist插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时的效率呢？

这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制 ，其次会设置一个多增加一层的概率p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图

random函数会返回一个 [0, 1] 的随机值

从概率论的角度：

一层概率：1 - p

两层概率：p*(1-p)

三层概率：p^2*(1-p)

...

在Redis的skiplist实现中，这两个参数的取值为：

p = 1/4

maxLevel = 32

根据前面randomLevel()的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。定量的分析如下：

  • 节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布。
  • 节点层数恰好等于1的概率为1-p。
  • 节点层数大于等于2的概率为p， 而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)。
  • 节点层数大于等于3的概率为p^2， 而节点层数恰好等于3的概率为p^2*(1-p)。
  • 节点层数大于等于4的概率为p^3， 而节点层数恰好等于4的概率为p^3*(1-p)。
  • ......

因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：

现在很容易计算出：

  • 当p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；
  • 当p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33。

概率越大层数越大空间消耗也就越多，搜索时间就越小一些。

概率越小层数越小空间消耗就越小，搜索时间就越大一些。

跳表的平均时间复杂度为O(logN)，这个推导的过程较为复杂，需要有一定的数学功底，有兴趣的老铁，可以参考以下文章中的讲解：

铁蕾大佬的博客

这里我们大概的理解一下:

假设 p = 1/2

第一层n个，第二层就有n/2个（上一层一半）节点会增加一层，第三层在第二层的节点的基础上再有一半的节点会增加一层。不断的向上走，直到最后顶层剩下一个。

这样查找就接近于二分查找了。但是它并不是严格的二分查找，因为每层节点是随机的。

3. skiplist的实现

1206. 设计跳表

它给的这个图有些问题，好像每个节点是有冗余值，其实是没有的。每个节点就一个值。

如何设计跳表，我们还是参考下面这个图，它是最板正的。

3.1 skiplist的节点

首先设计节点，我们的节点不应该去存储冗余的值。一个节点就一个val。但是一个节点可能有多层，到底有多少层我们现在并不知道，层数是在插入的时候通过随机函数通过概率来算的。每一层都指向这一层下一个节点。这里我们可以来一个vector搞定这个问题。

cpp 复制代码 
struct SkiplistNode
{
    int _val;
    vector<SkiplistNode*> _nextV;
};

注意看这张图，跳表是需要头节点的。那头结点应该有几层呢？理论上最高的节点有几层，头结点就有几层。头结点一定要可以指向最高的节点那一层。所以我们要有一个头结点，然后概率和最大层数就按上面给的写。

cpp 复制代码 
struct SkiplistNode
{
    int _val;
    vector<SkiplistNode*> _nextV;

};

class Skiplist 
{
    typedef SkiplistNode Node;
public:
    Skiplist() 
    {

    }

    bool search(int target) 
    {

    }

    void add(int num) 
    {

    }

    bool erase(int num) 
    {

    }

private:
    Node* _head;
    size_t _maxLevel = 32;
    double _p = 0.25;
};

那头结点初始时应该是几层呢？

最开始我们给一层

cpp 复制代码 
struct SkiplistNode
{
    int _val;
    vector<SkiplistNode*> _nextV;//多层节点

    SkiplistNode(int val,int level)
        :_val(val)
        ,_nextV(level,nullptr)
    {}
};

class Skiplist 
{
    typedef SkiplistNode Node;
public:
    Skiplist() 
    {
     	// 头节点，层数是1
        _head = new Node(-1, 1);
    }

    bool search(int target) 
    {

    }

    void add(int num) 
    {

    }

    bool erase(int num) 
    {

    }

private:
    Node* _head;
    size_t _maxLevel = 32;
    double _p = 0.25;
};

3.2 skiplist的查找

先不管插入是怎么插入的，假设这个表已经有了，怎么查找呢？

比如先看一个查找存在的情况，查找19

cpp 复制代码 
bool search(int target) 
{
}

这里不是给个目标值了吗，其实查找还是挺简单的。

我们可以申请一个cur指针，把_head给cur，让cur做查找。

注意并不是和当前节点的val比较，永远是和下一个节点进行比较。

cpp 复制代码 
bool search(int target) 
{
    Node* cur = _head;
    while ()
    {
        if(target > cur->_nextV[])
    }
}

那应该从第几层开始走呢？

从最高层往下走，最多把头结点层数走完，所以我们还需要一个层数的变量。

cpp 复制代码 
bool search(int target) 
{
    Node* cur = _head;
    int level = _head->_nextV.size() - 1;
    while ()
    {
        if (target > cur->_nextV[])
    }
}
cpp 复制代码 
bool search(int target) 
{
    Node* cur = _head;
    int level = _head->_nextV.size() - 1;
    while ()
    {
        if (target > cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 向右走
            cur = cur->_nextV[level];
        }
        else if (target < cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 往下走
            --level;
        }
        else
        {
            return true;
        }

    }
    return false;
}

但是这里还有一些问题，往右走可能会走到空，然后就有空指针访问的问题。

如何解决？往右走前面加限制条件。这一层下一个节点一定要存在。如果不存在就往下走。

cpp 复制代码 
bool search(int target) 
{
    // 目标值比下一个节点值要大，向右走
    // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走
    Node* cur = _head;
    int level = _head->_nextV.size() - 1;
    while ()
    {
        if (cur->_nextV[level] && target > cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 向右走
            cur = cur->_nextV[level];
        }
        else if (cur->_nextV[level] == nullptr || target < cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 往下走
            --level;
        }
        else
        {
            return true;
        }

    }
}

查找20，找不到的情况。

当层数为负数的时候，找不到。那我们while也就结束了。

cpp 复制代码 
bool search(int target) 
{
    // 目标值比下一个节点值要大，向右走
    // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走
    Node* cur = _head;
    int level = _head->_nextV.size() - 1;
    while (level >= 0)
    {
        if (cur->_nextV[level] && target > cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 向右走
            cur = cur->_nextV[level];
        }
        else if (cur->_nextV[level] == nullptr || target < cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 往下走
            --level;
        }
        else
        {
            return true;
        }

    }
    return false;
}

3.3 skiplist的插入

这里我们可以插入重复的值。

如下图，插入17。即使链表中有17了也没关系，那我就找到17的前面。

首先我们要找到插入的位置，一定要找到第一层去，从vector下标的角度就是第0层。

其次插入的节点是几层并不确定，那这里如何处理呢？

前面我们已经知道插入节点是独立的。只要前和后节点进行一个链接就可以了。后面节点好说只要找到前面的节点就可以了。所以我们重点要找到插入节点的前面就可以了，那如何找到前面的节点呢? 更准确的问法就是如何找到插入节点的每一层前面的节点呢？

插入节点的关键是找到这个位置的每一层前一个结点

很简单，申请一个vector记录插入位置每一层，前一个结点的指针。

随机出来的层数，可能1层、2层，甚至可能会超过当前最高层。那这个vector初始给多少呢？我们可以给当前最高层，也就是头结点的层数。然后和查找一样，去找插入位置每一层，前一个结点的指针。

cpp 复制代码 
void add(int num) 
{
    Node* cur = _head;
    int level = _head->_nextV.size() - 1;
    // 插入位置每一层前一个节点指针
    vector<Node*> prevV(level + 1, _head);
    while (level >= 0)
    {
        // 目标值比下一个节点值要大，向右走
        // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走
        if (cur->_nextV[level] && num > cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 向右走
            cur = cur->_nextV[level];
        }
        else if (cur->_nextV[level] == nullptr || num <= cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 更新level层前一个
            prevV[level] = cur;
            // 向下走
            --level;
        }
    }
}

接下获取插入节点的层数，我们可以写一个函数

cpp 复制代码 
int RandomLevel()
{
}

这里还是先把插入整体逻辑写完，然后在写获得插入节点的层数的函数。

如果插入节点随机层数超过当前最高层也就是头结点的层数，那我们要把头结点升高，同时也要把记录插入节点每一层前一个结点指针的prevV升高。因为prevV刚开始我们给的和头结点一样高。如果不升高，等会链接结点就会出现问题。

cpp 复制代码 
void add(int num) 
{
    Node* cur = _head;
    int level = _head->_nextV.size() - 1;
    // 插入位置每一层前一个节点指针
    vector<Node*> prevV(level + 1, _head);
    while (level >= 0)
    {
        // 目标值比下一个节点值要大，向右走
        // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走
        if (cur->_nextV[level] && num > cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 向右走
            cur = cur->_nextV[level];
        }
        else if (cur->_nextV[level] == nullptr || num <= cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 更新level层前一个
            prevV[level] = cur;
            // 向下走
            --level;
        }
    }

    size_t n = RandomLevel();
    Node* newnode = new Node(num, n);
    // 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数和记录插入位置每一层节点指针
    if (n > _head->_nextV.size())
    {
        _head->_nextV.resize(n, nullptr);
        prevV.resize(n, _head);
    }
    // 链接前后节点
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)//从0层开始链接
    {
        newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
        prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
    }
}

获得随机层数函数中，如果控制概率小于等于0.25就增加一层呢？有人是这样写的，rand随机数范围是0到RAND_MAX，有人把0到RAND_MAX当作0到1中的随机数来用。也就是让RAND_MAX * _p。假设RAND_MAX是1000，1000*0.25 = 250，那rand出现随机数小于250就相当于概率小于0.25。

cpp 复制代码 
Skiplist() 
{
    srand(time(0));
    // 头节点，层数是1
    _head = new Node(-1, 1);
}

int RandomLevel()
{
    size_t level = 1;
	// rand() -> [0,RAND_MAX]之间
    while (rand() < RAND_MAX * _p && level < _maxLevel)
    {
        ++level;
    }
    return level;
}

我们可以打印一下看看

cpp 复制代码 
void Print()
{
    Node* cur = _head;
    while (cur)
    {
        //打印每个cur结点
        printf("%2d\n", cur->_val);
        for (auto e : cur->_nextV)
        {
            printf("%2s", "↓");
        }
        printf("\n");
        cur = cur->_nextV[0];
    }
}

获得随机层数函数除了上面用C那一套写的，还有用C++库写的，不过写起来太麻烦了，简单了解一下。

cpp 复制代码 
int RandomLevel()
{
     // 这个是C++11中的控制随机数的函数
     static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
     static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0,1.0);

     size_t level = 1;
     while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel)
     {
        ++level;
     }
     return level;
 }

3.4 skiplist的删除

删除也要找到该节点每一层前一个结点指针，然后去更新指向。 这里的过程跟插入相似。

这里我们可以把找结点每一层前一个结点指针封装成一个函数

cpp 复制代码 
vector<Node*> FindPrevNode(int num)
{
    Node* cur = _head;
    int level = _head->_nextV.size() - 1;
    // 插入位置每一层前一个节点指针
    vector<Node*> prevV(level + 1, _head);
    while (level >= 0)
    {
        // 目标值比下一个节点值要大，向右走
        // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走
        if (cur->_nextV[level] && num > cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 向右走
            cur = cur->_nextV[level];
        }
        else if (cur->_nextV[level] == nullptr || num <= cur->_nextV[level]->_val)
        {
            // 更新level层前一个
            prevV[level] = cur;
            // 向下走
            --level;
        }
    }
    return prevV;
}

void add(int num) 
{
    vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

    size_t n = RandomLevel();
    Node* newnode = new Node(num, n);
    // 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数和记录插入位置每一层节点指针
    if (n > _head->_nextV.size())
    {
        _head->_nextV.resize(n, nullptr);
        prevV.resize(n, _head);
    }
    // 链接前后节点
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)//从0层开始链接
    {
        newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
        prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
    }
}

删除先找到删除节点每一层前一个结点

cpp 复制代码 
bool erase(int num) 
{
    vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

}

删除的时候还要注意

如何判断删除的值不存在呢？

只需要去看第0层的结点的下一个如果为空或者值不等于删除节点，没找到，返回false。

cpp 复制代码 
bool erase(int num) 
{
    vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
    if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
    {
        return false;
    }

}

然后将被删除节点的前后节点链接起来，在删除要删除的节点。

cpp 复制代码 
bool erase(int num) 
{
    vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
    // 第一层下一个不是val，val不在表中
    if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
    {
        return false;
    }
    else
    {
        Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
        // del节点每一层的前后指针链接起来
        for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i)
        {
            prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
        }
        delete del;
    }
    return true;
}

这里还有一点点节约空间的方式。

如果删除的是最高节点，并且没有其他节点的层数和它相等，我们可以将头结点的层数缩小。

那我们这里如何判断可以将头结点层数缩小呢？

cpp 复制代码 
bool erase(int num) 
{
    vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
    // 第一层下一个不是val，val不在表中
    if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
    {
        return false;
    }
    else
    {
        Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
        // del节点每一层的前后指针链接起来
        for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i)
        {
            prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
        }
        delete del;

        // 如果删除最高层节点，把头节点的层数也降一下
        int level = _head->_nextV.size() - 1;
        while (level >= 0)
        {
            if (_head->_nextV[level] == nullptr)
            {
                --level;
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
        _head->_nextV.resize(level + 1);
    }
    return true;
}

3.5 skiplist的完整代码

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<vector>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
#include<random>
#include<chrono>

using namespace std;

struct SkiplistNode
{
    int _val;
    vector<SkiplistNode*> _nextV;

    SkiplistNode(int val,int level)
        :_val(val)
        ,_nextV(level,nullptr)
    {}
};

class Skiplist 
{
    typedef SkiplistNode Node;
public:
    Skiplist() 
    {
        srand(time(0));
        // 头节点，层数是1
        _head = new Node(-1, 1);
    }

    bool search(int target) 
    {

        // 目标值比下一个节点值要大，向右走
        // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;
        while (level >= 0)
        {
            if (cur->_nextV[level] && target > cur->_nextV[level]->_val)
            {
                // 向右走
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            else if (cur->_nextV[level] == nullptr || target < cur->_nextV[level]->_val)
            {
                // 往下走
                --level;
            }
            else
            {
                return true;
            }

        }
        return false;
    }

    vector<Node*> FindPrevNode(int num)
    {
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;
        // 插入位置每一层前一个节点指针
        vector<Node*> prevV(level + 1, _head);
        while (level >= 0)
        {
            // 目标值比下一个节点值要大，向右走
            // 下一个节点是空(尾)，目标值比下一个节点值要小，向下走
            if (cur->_nextV[level] && num > cur->_nextV[level]->_val)
            {
                // 向右走
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            else if (cur->_nextV[level] == nullptr || num <= cur->_nextV[level]->_val)
            {
                // 更新level层前一个
                prevV[level] = cur;
                // 向下走
                --level;
            }
        }
        return prevV;
    }

    void add(int num) 
    {
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

        size_t n = RandomLevel();
        Node* newnode = new Node(num, n);
        // 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数和记录插入位置每一层节点指针
        if (n > _head->_nextV.size())
        {
            _head->_nextV.resize(n, nullptr);
            prevV.resize(n, _head);
        }
        // 链接前后节点
        for (size_t i = 0; i < n; ++i)//从0层开始链接
        {
            newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
            prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
        }
    }

    int RandomLevel()
    {
        size_t level = 1;
        while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel)
        {
            ++level;
        }
        return level;
    }

    //int RandomLevel()
    //{
    //     // 这个是C++11中的控制随机数的函数
    //     static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
    //     static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0,1.0);

    //     size_t level = 1;
    //     while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel)
    //     {
    //        ++level;
    //     }
    //     return level;
    // }

    bool erase(int num) 
    {
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
        // 第一层下一个不是val，val不在表中
        if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
        {
            return false;
        }
        else
        {
            Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
            // del节点每一层的前后指针链接起来
            for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i)
            {
                prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
            }
            delete del;

            // 如果删除最高层节点，把头节点的层数也降一下
            int level = _head->_nextV.size() - 1;
            while (level >= 0)
            {
                if (_head->_nextV[level] == nullptr)
                {
                    --level;
                }
                else
                {
                    break;
                }
            }
            _head->_nextV.resize(level + 1);
        }
        return true;

    }

    void Print()
    {
        Node* cur = _head;
        while (cur)
        {
            //打印每个cur结点
            printf("%2d\n", cur->_val);
            for (auto e : cur->_nextV)
            {
                printf("%2s", "↓");
            }
            printf("\n");
            cur = cur->_nextV[0];
        }
    }

private:
    Node* _head;
    size_t _maxLevel = 32;
    double _p = 0.25;
};

4. skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比

  1. skiplist相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多。skiplist的优势是：a、skiplist实现简单，容易控制。平衡树增删查改遍历都更复杂。 b、skiplist的额外空间消耗更低。平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。skiplist中p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；skiplist中p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33；

  2. skiplist相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。相比而言a、哈希表平均时间复杂度是O(1)，比skiplist快。b、哈希表空间消耗略多一点。skiplist优势如下：a、遍历数据有序 b、skiplist空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。c、哈希表扩容有性能损耗。d、哈希表再极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力。

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