【机器学习】使用Numpy实现神经网络训练全流程

嗜睡的篠龙2024-09-14 19:25

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曾经在面试一家大模型公司时遇到的面试真题，当时费力写了一个小时才写出来，自然面试也挂了。后来复盘，发现反向传播掌握程度还是太差，甚至连梯度链式传播法则都没有弄明白。

网络搭建

这里我们以训练 全连接神经网络 为例，也就是输入层，隐藏层和输出层都是 全连接层，激活函数选择Relu函数。

  • 构造Linear层来实现全连接层，其中权重参数 w w w和偏执参数 b i a s bias bias分别使用随机初始化和零初始化
  • Relu激活函数没有可学习参数
  • 整个网络写成MLP类，并设置参数控制中间隐藏层的个数
python 复制代码 
class Relu:
    ''' relu activation function
    '''
    def forward(self, x):
        self.x = x
        return np.maximum(0, x)
    
class LinearLayer:
    def __init__(self, input_c, output_c):
        # y = x @ w + b
        # self.w = np.random.rand(input_c, output_c)
        self.w = np.random.rand(input_c, output_c) * 0.001 # 这里乘上0.001是为了防止结果太大，梯度爆炸
        self.b = np.zeros(output_c)
    
class MLP:
    def __init__(self, input_c, hidden_c, output_c, layers_num):
        self.layers = []

        # 初始化网络第一层
        self.layers.append(LinearLayer(input_c, hidden_c))
        self.layers.append(Relu())

        # 初始化网络中间层
        for i in range(layers_num - 2):
            self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, hidden_c))
            self.layers.append(Relu())
        
        # 初始化网络最后一层，注意，最后一层没有relu激活函数
        self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, output_c))

前向传播

前向传播部分，主要包括 Linear层的前向，Relu激活函数的前向，以及MLP类的前向：

  • Relu激活函数：前向就是和0比较大小，大于零的保留，小于零的都置为0
  • Linear层：前向计算公式就是线性回归方程，要注意计算时维度需要对齐
  • MLP类：逐层调用前向传播函数
python 复制代码 
class Relu:
    ''' relu activation function
    '''
    def forward(self, x):
        self.x = x
        return np.maximum(0, x)
    
class LinearLayer:
    def __init__(self, input_c, output_c):
        # y = x @ w + b
        # self.w = np.random.rand(input_c, output_c)
        self.w = np.random.rand(input_c, output_c) * 0.001 # 这里乘上0.001是为了防止结果太大，梯度爆炸
        self.b = np.zeros(output_c)

    def forward(self, x):
        self.x = x # 这里保存输入，为了后续在反向传播中计算梯度
        # y = x @ w + b
        return np.dot(x, self.w) + self.b
    
class MLP:
    def __init__(self, input_c, hidden_c, output_c, layers_num):
        self.layers = []

        # 初始化网络第一层
        self.layers.append(LinearLayer(input_c, hidden_c))
        self.layers.append(Relu())

        # 初始化网络中间层
        for i in range(layers_num - 2):
            self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, hidden_c))
            self.layers.append(Relu())
        
        # 初始化网络最后一层，注意，最后一层没有relu激活函数
        self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, output_c))
        

    def forward(self, x):
        res = x
        for layer in self.layers:
            res = layer.forward(res)
        return res

反向传播

前向的输出，变为反向的输入

梯度，就是多元函数对某个变量的偏导数（变化最快的方向）

梯度下降法更新参数，就是朝着梯度的反方向更新参数

参数的梯度，意思是 损失函数对这个参数的梯度，根据求导的链式法则，可以表示为逐层求导乘积的形式

同前向一样，反向传播部分，也包括 Linear层的反向，Relu激活函数的反向，以及MLP类的反向：

  • Relu激活函数：大于0时导数为1，小于等于0时导数为0。同时由于没有可学习参数，所以只需要回传输入的梯度值即可
  • MLP类：由于是反向传播，所以起点就是 损失函数 对于 MLP最后一层的输出 的梯度值，然后从最后一层向前，逐层 回传 梯度值
  • Linear层：由于存在可学习参数需要去更新，因此不仅需要计算输入的梯度，还需要计算两个可学习参数 w w w和 b i a s bias bias的梯度，然后更新参数
python 复制代码 
class Relu:
    ''' relu activation function
    '''
    def forward(self, x):
        self.x = x
        return np.maximum(0, x)
    
    def backward(self, grad_output, lr):
        # 这里的lr没有用到，但是为了保持参数接口的一致性，还是保留了
        return grad_output * (self.x > 0) # relu函数的一阶导数，大于0部分为1，小于0部分为0
    
class LinearLayer:
    def __init__(self, input_c, output_c):
        # y = x @ w + b
        # self.w = np.random.rand(input_c, output_c)
        self.w = np.random.rand(input_c, output_c) * 0.001 # 这里乘上0.001是为了防止结果太大，梯度爆炸
        self.b = np.zeros(output_c)

    def forward(self, x):
        self.x = x # 这里保存输入，为了后续在反向传播中计算梯度
        # y = x @ w + b
        return np.dot(x, self.w) + self.b

    def backward(self, grad_output, lr):
        # linear层的梯度计算，涉及三个参数，x，w，b，为 dx, dw, db
        # 其中，dw和db是为了更新w和b
        # dx是为了计算下一层的梯度，链式法则

        # y = x @ w + b
        # dl / dx = dl / dy * dy / dx = grad_output * w
        # 这里要注意矩阵的维度要对齐
        grad_input = np.dot(grad_output, self.w.T)

        # dl / dw = dl / dy * dy / dw = grad_output * x
        # 这里要注意矩阵的维度要对齐
        w_grad = np.dot(self.x.T, grad_output)

        b_grad = np.sum(grad_output, axis=0)

        # 更新w和b的参数
        self.w -= lr * w_grad
        self.b -= lr * b_grad

        return grad_input
    
class MLP:
    def __init__(self, input_c, hidden_c, output_c, layers_num):
        self.layers = []

        # 初始化网络第一层
        self.layers.append(LinearLayer(input_c, hidden_c))
        self.layers.append(Relu())

        # 初始化网络中间层
        for i in range(layers_num - 2):
            self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, hidden_c))
            self.layers.append(Relu())
        
        # 初始化网络最后一层，注意，最后一层没有relu激活函数
        self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, output_c))
        

    def forward(self, x):
        res = x
        for layer in self.layers:
            res = layer.forward(res)
        return res

    def backward(self, grad_output, lr):
        grad = grad_output

        # 倒序遍历每一层，反向传播，计算每一层梯度
        # for layer in reversed(self.layers):
        for layer in self.layers[::-1]:
            grad = layer.backward(grad, lr)

        return grad

损失计算

这里为了简化操作，使用MSE均方误差函数，作为损失函数：

然后，计算损失loss对模型最后一层输出的梯度： l g r a d = 2 ∗ ( y − y ^ ) l_{grad}=2*(y-\hat{y}) lgrad=2∗(y−y^)，然后，将 l g r a d l_{grad} lgrad作为模型反向传播的起点，逐层回传梯度并使用梯度下降法更新参数。

完整代码

python 复制代码 
import numpy as np

class Relu:
    ''' relu activation function
    '''
    def forward(self, x):
        self.x = x
        return np.maximum(0, x)
    
    def backward(self, grad_output, lr):
        # 这里的lr没有用到，但是为了保持参数接口的一致性，还是保留了
        return grad_output * (self.x > 0) # relu函数的一阶导数，大于0部分为1，小于0部分为0
    
class LinearLayer:
    def __init__(self, input_c, output_c):
        # y = x @ w + b
        # self.w = np.random.rand(input_c, output_c)
        self.w = np.random.rand(input_c, output_c) * 0.001 # 这里乘上0.001是为了防止结果太大，梯度爆炸
        self.b = np.zeros(output_c)

    def forward(self, x):
        self.x = x # 这里保存输入，为了后续在反向传播中计算梯度
        # y = x @ w + b
        return np.dot(x, self.w) + self.b

    def backward(self, grad_output, lr):
        # linear层的梯度计算，涉及三个参数，x，w，b，为 dx, dw, db
        # 其中，dw和db是为了更新w和b
        # dx是为了计算下一层的梯度，链式法则

        # y = x @ w + b
        # dl / dx = dl / dy * dy / dx = grad_output * w
        # 这里要注意矩阵的维度要对齐
        grad_input = np.dot(grad_output, self.w.T)

        # dl / dw = dl / dy * dy / dw = grad_output * x
        # 这里要注意矩阵的维度要对齐
        w_grad = np.dot(self.x.T, grad_output)

        b_grad = np.sum(grad_output, axis=0)

        # 更新w和b的参数
        self.w -= lr * w_grad
        self.b -= lr * b_grad

        return grad_input
    
class MLP:
    def __init__(self, input_c, hidden_c, output_c, layers_num):
        self.layers = []

        # 初始化网络第一层
        self.layers.append(LinearLayer(input_c, hidden_c))
        self.layers.append(Relu())

        # 初始化网络中间层
        for i in range(layers_num - 2):
            self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, hidden_c))
            self.layers.append(Relu())
        
        # 初始化网络最后一层，注意，最后一层没有relu激活函数
        self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, output_c))
        

    def forward(self, x):
        res = x
        for layer in self.layers:
            res = layer.forward(res)
        return res

    def backward(self, grad_output, lr):
        grad = grad_output

        # 倒序遍历每一层，反向传播，计算每一层梯度
        # for layer in reversed(self.layers):
        for layer in self.layers[::-1]:
            grad = layer.backward(grad, lr)

        return grad

if __name__ == '__main__':
    input_data = np.random.rand(2, 8)
    input_c = 8
    hidden_c = 16
    output_c = 3
    layers = 5
    target = np.random.rand(2, 3)

    mlp_model = MLP(input_c, hidden_c, output_c, layers)

    # print(mlp_model.layers)

    for i in range(10):
        print(f'[Epoch: {i} / 100]', end='   ')
        res = mlp_model.forward(input_data)

        # 计算损失loss，这里使用mse，均方误差函数
        loss = ((res - target) ** 2).mean()

        # 损失对于最后一层输出res的梯度
        loss_grad = 2 * (res - target)

        # 反向传播，计算每一层梯度
        mlp_model.backward(loss_grad, lr=0.1)

        print(f'[loss: {loss}]')

输出结果：

[Epoch: 0 / 100]   [loss: 0.7094113331502839]
[Epoch: 1 / 100]   [loss: 0.2770589775342763]
[Epoch: 2 / 100]   [loss: 0.12141369105814748]
[Epoch: 3 / 100]   [loss: 0.06538216434144564]
[Epoch: 4 / 100]   [loss: 0.04521136910150728]
[Epoch: 5 / 100]   [loss: 0.037950191234703855]
[Epoch: 6 / 100]   [loss: 0.03533631186000425]
[Epoch: 7 / 100]   [loss: 0.03439537638899603]
[Epoch: 8 / 100]   [loss: 0.034056663841438094]
[Epoch: 9 / 100]   [loss: 0.033934736564443235]
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