简单多状态DP问题

文章目录

[面试题 17.16. 按摩师](#面试题 17.16. 按摩师)
[213. 打家劫舍 II](#213. 打家劫舍 II)
[740. 删除并获得点数](#740. 删除并获得点数)
[LCR 091. 粉刷房子](#LCR 091. 粉刷房子)
[309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期](#309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期)
714.买卖股票的最佳时机含⼿续费
[123.买卖股票的最佳时机 III](#123.买卖股票的最佳时机 III)
[188买卖股票的最佳时机 IV](#188买卖股票的最佳时机 IV)

面试题 17.16. 按摩师

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面试题 17.16. 按摩师

题目描述

一个有名的按摩师会收到源源不断的预约请求，每个预约都可以选择接或不接。在每次预约服务之间要有休息时间，因此她不能接受相邻的预约。给定一个预约请求序列，替按摩师找到最优的预约集合（总预约时间最长），返回总的分钟数。

注意：本题相对原题稍作改动

示例 1：

输入： [1,2,3,1]

输出： 4

解释：选择 1 号预约和 3 号预约，总时长 = 1 + 3 = 4。

示例 2：

输入： [2,7,9,3,1]

输出： 12

解释：选择 1 号预约、 3 号预约和 5 号预约，总时长 = 2 + 9 + 1 = 12。

示例 3：

输入： [2,1,4,5,3,1,1,3]

输出： 12

解释：选择 1 号预约、 3 号预约、 5 号预约和 8 号预约，总时长 = 2 + 4 + 3 + 3 = 12。

分析

状态表示：经验（以某个位置为结尾）+题目要求
dp[i]选择到i位置的时候，此时的最长预约时长。继续细化：划分为两种状态f[i]表示选择到i位置的时候，nums[i]位置必选，此时最长预约时间最长；g[i]表示选择到i位置的时候，nums[i]位置不选，此时最长预约时间最长。
状态转移方程

第i个位置选：f[i]=g[i-1]+nums[i]

第i个位置不选：g[i]=max(f[i-1],g[i-1])，此时i-1位置可选可不选。
初始化
f[0]=nuns[0]，g[0]=0
填表顺序

从左往右
返回值
max(f[n-1],g[n-1])

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int massage(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        if(n==0) return 0; 
        vector<int> f(n),g(n);
        f[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            f[i]=g[i-1]+nums[i];
            g[i]=max(f[i-1],g[i-1]);
        }
        return max(f[n-1],g[n-1]);
    }
};

213. 打家劫舍 II

题目链接

213. 打家劫舍 II

题目描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，今晚能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：nums = [2,3,2]

输出：3

解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,1]

输出：4

解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。

偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3]

输出：3

提示：

1 <= nums.length <= 100

0 <= nums[i] <= 1000

分析

选了第一个位置就不能选择最后一个位置的房屋，因为是一个环形的房屋，第一个和最后一个是相邻的。分为两种情况：选第一个位置：nums[0]+rob(2,n-2)，第一个位置不选：rob(1,n-1)。最终选择两种情况中最大值即可。

状态表示
f[i]表示偷到i位置是，偷nums[i]，此时的最大金额；g[i]表示偷到i位置是，不偷nums[i]，此时的最大金额。
状态转移方程

偷第i位置：f[i]=g[i-1]+nums[i]

不偷第i位置：g[i]=max(f[i-1],g[i-1])
初始化
f[0]=nums[0]
g[0]=0
填表顺序

从左往右，两表一起
返回值
max(f[n-1],g[n-1])

代码

cpp 复制代码

class Solution {

int rob1(vector<int>& nums,int l,int r)
{
    if(l>r) return 0;
    int n=nums.size();
    vector<int> f(n),g(n);
    f[l]=nums[l];
    for(int i=l+1;i<=r;i++)
    {
        f[i]=g[i-1]+nums[i];
        g[i]=max(f[i-1],g[i-1]);
    }
    return max(f[r],g[r]);
}

public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();

        return max(nums[0]+rob1(nums,2,n-2),rob1(nums,1,n-1));        

    }
};

740. 删除并获得点数

题目描述

给你一个整数数组 nums ，你可以对它进行一些操作。

每次操作中，选择任意一个 nums[i] ，删除它并获得 nums[i] 的点数。之后，你必须删除所有等于 nums[i] - 1 和 nums[i] + 1 的元素。

开始你拥有 0 个点数。返回你能通过这些操作获得的最大点数。

示例 1：

输入：nums = [3,4,2]

输出：6

解释：删除 4 获得 4 个点数，因此 3 也被删除。之后，删除 2 获得 2 个点数。总共获得 6 个点数。

示例 2：

输入：nums = [2,2,3,3,3,4]

输出：9

解释：删除 3 获得 3 个点数，接着要删除两个 2 和 4 。之后，再次删除 3 获得 3 个点数，再次删除 3 获得 3 个点数。总共获得 9 个点数。

分析

本道题需要先预处理一下：

记录nums数组中的值放在arr数组中，arr数组下标对应nums数组中的数字，arr数组下标对应的内容是nums数组中同一个数字的总和。

例如：nums = [2,2,3,3,3,4]，那么arr[0,0,4,9,4]

剩下的就是动态规划问题，类似于打家劫舍，不再具体分析。

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int deleteAndEarn(vector<int>& nums) {
        vector<int> arr(10001,0);
        for(auto x:nums) arr[x]+=x;
        vector<int> f(10001),g(10001);
        f[0]=arr[0],g[0]=0;
        for(int i=1;i<10001;i++)
        {
            f[i]=g[i-1]+arr[i];
            g[i]=max(g[i-1],f[i-1]);
        }
        return max(f[10000],g[10000]);
    }
};

LCR 091. 粉刷房子

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LCR 091. 粉刷房子

题目描述

假如有一排房子，共 n 个，每个房子可以被粉刷成红色、蓝色或者绿色这三种颜色中的一种，你需要粉刷所有的房子并且使其相邻的两个房子颜色不能相同。

当然，因为市场上不同颜色油漆的价格不同，所以房子粉刷成不同颜色的花费成本也是不同的。每个房子粉刷成不同颜色的花费是以一个 n x 3 的正整数矩阵 costs 来表示的。

例如，costs[0][0] 表示第 0 号房子粉刷成红色的成本花费；costs[1][2] 表示第 1 号房子粉刷成绿色的花费，以此类推。

请计算出粉刷完所有房子最少的花费成本。

示例 1：

输入: costs = [[17,2,17],[16,16,5],[14,3,19]]

输出: 10

解释: 将 0 号房子粉刷成蓝色，1 号房子粉刷成绿色，2 号房子粉刷成蓝色。

最少花费: 2 + 5 + 3 = 10。

示例 2：

输入: costs = [[7,6,2]]

输出: 2

分析

分析一下示例1，理解一下costs数组的使用方法：

状态表示：
dp[i][0]：表示粉刷到i位置时，粉刷上红色，此时的最小花费
dp[i][1]：表示粉刷到i位置时，粉刷上蓝色，此时的最小花费
dp[i][2]：表示粉刷到i位置时，粉刷上绿色，此时的最小花费
状态转移方程：
i位置刷红色：dp[i][0]=min(dp[i-1][1],dp[i-1][2])+costs[i][0]

i位置刷蓝色：dp[i][1]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][2])+costs[i][1]
i位置刷绿色：dp[i][2]=min(dp[i-1][1],dp[i-1][2])+costs[i][2]
初始化

添加一个虚拟节点，保证后面填表是正确的，注意下标的映射关系。虚拟节点初始化为0。
填表顺序

一次填写三个表，从左往右填表
返回值

返回三个dp表的最后一个值，并且是最小的。

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minCost(vector<vector<int>>& costs) {
        int n=costs.size();
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(3));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            dp[i][0]=min(dp[i-1][1],dp[i-1][2])+costs[i-1][0];
            dp[i][1]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][2])+costs[i-1][1];
            dp[i][2]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][1])+costs[i-1][2];
        }
        return min(min(dp[n][0],dp[n][1]),dp[n][2]);
    }
};

309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期

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309.买卖股票的最佳时机含冷冻期

题目描述

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]

输出: 3

解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]

输出: 0

分析

状态表示：
dp[i][0]表示第i天结束之后，处于买入状态，此时的最大利润
dp[i][1]表示第i天结束之后，处于可交易状态，此时的最大利润
dp[i][2]表示第i天结束之后，处于冷冻期状态，此时的最大利润
状态转移方程：

如果第i-1天处于买入状态，第i天可以啥也不干；

如果第i-1天处于可交易状态，第i天可以处于买入状态；

如果第i-1天处于冷冻期状态，第i天无法可以处于买入状态，并且-price[i]；

如果第i-1处于买入状态，第i天可以处于冷冻期，并且+price[i]；

如果第i-1处于可交易状态，第i天依旧可以处于可交易状态，啥也不干；

如果第i-1处于可交易状态，第i天可以处于冷冻期状态

dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-p[i])
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2])
dp[i][2]=dp(dp[i-1][0]+p[i]
初始化
dp[0][0]=-p[0]
dp[0][1]=0
dp[0][2]=0
填表顺序

从左往右，一次填三个表
返回值
max(dp[n-1][1],dp[n-1][2])

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(3));
        dp[0][0]=-prices[0];
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);
            dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];
        }
        return max(dp[n-1][1],dp[n-1][2]);
    }
};

空间复杂度O（n），时间复杂度O（n）

714.买卖股票的最佳时机含⼿续费

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714.买卖股票的最佳时机含⼿续费

题目描述

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2

输出：8

解释：能够达到的最大利润:

在此处买入 prices[0] = 1

在此处卖出 prices[3] = 8

在此处买入 prices[4] = 4

在此处卖出 prices[5] = 9

总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3

输出：6

分析

状态表示
f[i]表示第i天结束后，处于买入状态，此时最大利润
g[i]表示第i天结束后，处于卖出状态，此时最大利润
状态转移方程
f[i]=max(f[i-1],g[i-1]-p[i])
g[i]=max(g[i-1],f[i-1]+p[i]-fee)
初始化
f[0]=-p[0]
g[0]=0
填表顺序
从左到右，两个表同时填
返回值
g[n-1]
结果不可能是f[n-1]

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int n=prices.size();
        vector<int> f(n);
        vector<int> g(n);

        f[0]=-prices[0];

        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            f[i]=max(f[i-1],g[i-1]-prices[i]);
            g[i]=max(g[i-1],f[i-1]+prices[i]-fee);
        }
        return g[n-1];
    }
};

123.买卖股票的最佳时机 III

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123.买卖股票的最佳时机 III

题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

输出：6

解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]

输出：4

解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。

注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。

因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]

输出：0

解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]

输出：0

分析

状态表示
f[i][j]表示第i天结束后，完成了j次交易，此时处于买入状态下达到最大利润
g[i][j]表示第i天结束后，完成了j次交易，此时处于卖出状态下达到最大利润
状态转移方程
f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-p[i])
g[i][j]=max(g[i-1][j],f[i-1][j-1]+p[i] 在f[i-1][j-1]因为当天次数为j，所以前一天交易次数为j-1

初始化
填表顺序

从左往右，两个表同时填
返回值
g表中最后一行的最大值

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        vector<vector<int>> f(n,vector<int>(3,-0x3f3f3f3f));
        
        auto g=f;
        f[0][0]=-prices[0],g[0][0]=0;

        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<3;j++)
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]);
                g[i][j]=g[i-1][j];
                if(j-1>=0)
                {
                    g[i][j]=max(g[i-1][j],f[i-1][j-1]+prices[i]);
                }
            }
        }
        //找到最后一行的最大值
        int ans=0;
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            ans=max(ans,g[n-1][i]);
        }
        return ans;
    }
};

188买卖股票的最佳时机 IV

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188买卖股票的最佳时机 IV

题目描述

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]

输出：2

解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]

输出：7

解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。

随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
         int n=prices.size();
        vector<vector<int>> f(n,vector<int>(k+1,-0x3f3f3f3f));
        
        auto g=f;
        f[0][0]=-prices[0],g[0][0]=0;

        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=k;j++)
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i-1][j]-prices[i]);
                g[i][j]=g[i-1][j];
                if(j-1>=0)
                {
                    g[i][j]=max(g[i-1][j],f[i-1][j-1]+prices[i]);
                }
            }
        }
        //找到最后一行的最大值
        int ans=0;
        for (int j = 0; j <= k; ++j) {
            ans = max(ans, g[n-1][j]);
        }
        return ans;
    }
};