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一、隐函数求导
函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 表示两个变量 y y y 与 x x x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达，例如 y = sin x y = \sin x y=sinx ， y = ln x + 1 − x 2 y = \ln x + \sqrt{1 - x^2} y=lnx+1−x2 等。这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数 。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程
x + y 3 − 1 = 0 x + y^3 - 1 = 0 x+y3−1=0
表示一个函数，因为当变量 x x x 在 ( − ∞ , ∞ ) (- \infty, \infty) (−∞,∞) 内取值时，变量 y y y 有确定的值与之对应。例如，当 x = 0 x = 0 x=0 时， y = 1 y = 1 y=1 ；当 x = − 1 x = -1 x=−1 时， y = 2 3 y = \sqrt[3]{2} y=32 ，等等。这样的函数称为隐函数。
一般地，如果变量 x x x 和 y y y 满足一个方程 F ( x , y ) = 0 F(x, y) = 0 F(x,y)=0 ，在一定条件下，当 x x x 取某区间内任一值时，相应地总有满足这一方程的唯一的 y y y 值存在，那么就说方程 F ( x , y ) = 0 F(x, y) = 0 F(x,y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化 。例如从方程 x + y 3 − 1 = 0 x + y^3 - 1= 0 x+y3−1=0 解出 y = 1 − x 3 y = \sqrt[3]{1 - x} y=31−x ，就把隐函数化成了显函数。隐函数显化有时是困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数。下面通过具体例子来说明这种方法。
例1 求由方程 e y + x y − e = 0 \mathrm{e}^y + x y - \mathrm{e} = 0 ey+xy−e=0 所确定的隐函数的导数 d y d x \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} dxdy .
解：我们把方程两端分别对 x x x 求导，注意 y = y ( x ) y = y(x) y=y(x) 。方程左端对 x x x 求导得
d d x ( e y + x y − e ) = e y d y d x + y + x d y d x , \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\mathrm{e}^y + x y - \mathrm{e}) = \mathrm{e}^y \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y + x \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} , dxd(ey+xy−e)=eydxdy+y+xdxdy,
方程右端对 x x x 求导得
( 0 ) ′ = 0. (0)' = 0. (0)′=0.
由于等式两端对 x x x 的导数相等，所以
e y d y d x + y + x d y d x = 0 , \mathrm{e}^y \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y + x \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0, eydxdy+y+xdxdy=0,
从而
d y d x = − y x + e y ( x + e y ≠ 0 ) \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{y}{x + \mathrm{e}^y} \quad (x + \mathrm{e}^y \neq 0) dxdy=−x+eyy(x+ey=0)
在这个结果中，分式中的 y = y ( x ) y = y(x) y=y(x) 是由方程 e y + x y − e = 0 \mathrm{e}^y + x y - \mathrm{e} = 0 ey+xy−e=0 所确定的隐函数。
例2 求由方程 y 5 + 2 y − x − 3 x 7 = 0 y^5 + 2y - x - 3 x^7 = 0 y5+2y−x−3x7=0 所确定的隐函数在 x = 0 x = 0 x=0 处的导数 d y d x ∣ x = 0 \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0} dxdy x=0 .
解：把方程两端分别对 x x x 求导，由于方程两端的导数相等，所以
5 y 4 d y d x + 2 d y d x − 1 − 21 x 6 = 0. 5y^4 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 1 - 21 x^6 = 0 . 5y4dxdy+2dxdy−1−21x6=0.
由此得
d y d x = 1 + 21 x 6 5 y 4 + 2 . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{1 + 21 x^6}{5 y^4 + 2} . dxdy=5y4+21+21x6.
因为当 x = 0 x = 0 x=0 时，从原方程的 y = 0 y = 0 y=0 ，所以
d y d x ∣ x = 0 = 1 2 . \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0} = \cfrac{1}{2} . dxdy x=0=21.
例3 求椭圆 x 2 16 + y 2 9 = 1 \cfrac{x^2}{16} + \cfrac{y^2}{9} = 1 16x2+9y2=1 在点 ( 2 , 3 2 3 ) \left( 2, \cfrac{3}{2} \sqrt 3 \right) (2,233 ) 处的切线方程。
解：由导数的几何意义可知，所求切线斜率为
k = y ′ ∣ x = 2 . k = \left . y' \right|_{x = 2} . k=y′∣x=2.
椭圆方程的两端分别对 x x x 求导，有
x 8 + 2 9 y ⋅ d y d x = 0. \cfrac{x}{8} + \cfrac{2}{9} y \cdot \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 . 8x+92y⋅dxdy=0.
从而
d y d x = − 9 x 16 y . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{9 x}{16 y} . dxdy=−16y9x.
当 x = 2 x = 2 x=2 时， y = 3 2 3 y = \cfrac{3}{2} \sqrt 3 y=233 ，代入上式得
d y d x ∣ x = 2 = − 3 4 . \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 2} = - \cfrac{\sqrt 3}{4} . dxdy x=2=−43 .
于是所求切线方程为
y − 3 2 3 = − 3 4 ( x − 2 ) , y - \cfrac{3}{2} \sqrt 3 = - \cfrac{\sqrt 3}{4}(x - 2) , y−233 =−43 (x−2),
即
3 x + 4 y − 8 3 = 0. \sqrt 3 x + 4y - 8 \sqrt 3 = 0. 3 x+4y−83 =0.
例4 求由方程 x − y + 1 2 sin y = 0 x - y + \cfrac{1}{2} \sin y = 0 x−y+21siny=0 所确定的隐函数的二阶导数 d 2 x d x 2 \cfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}x^2} dx2d2x .
解：应用隐函数的求导方法，得
1 − d y d x + 1 2 cos y ⋅ d y d x = 0 1 - \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \cfrac{1}{2} \cos y \cdot \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 1−dxdy+21cosy⋅dxdy=0
于是
d y d x = 2 2 − cos y . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{2}{2 - \cos y} . dxdy=2−cosy2.
上式两端再对 x x x 求导，得
d 2 x d x 2 = − 2 sin y d y d x ( 2 − cos y ) 2 = − 4 sin y ( 2 − cos y ) 3 . \cfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{-2 \sin y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{(2 - \cos y)^2} = \cfrac{-4 \sin y}{(2 - \cos y)^3} . dx2d2x=(2−cosy)2−2sinydxdy=(2−cosy)3−4siny.
上式右端分式中的 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 是由方程 x − y + 1 2 sin y = 0 x - y + \cfrac{1}{2} \sin y = 0 x−y+21siny=0 所确定的隐函数。
在某些场合，利用所谓的对数求导法求导数比通常的方法简便些。这种方法是先在 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 的两端取对数，然后再求出 y y y 的导数。
例5 求 y = x sin x ( x > 0 ) y = x^{\sin x} (x > 0) y=xsinx(x>0) 的导数。
解：这函数是幂指函数。为了求这个函数的导数，可以先在等式两端取对数，得
ln y = sin x ⋅ ln x . \ln y = \sin x \cdot \ln x . lny=sinx⋅lnx.
上式两端对 x x x 求导，注意到 y = y ( x ) y = y(x) y=y(x) ，得
1 y y ′ = cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ 1 x , \cfrac{1}{y} y' = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \cfrac{1}{x} , y1y′=cosx⋅lnx+sinx⋅x1,
于是
y ′ = y ( cos x ⋅ ln x + sin x x ) = x sin x ( cos x ⋅ ln x + sin x x ) y' = y \left( \cos x \cdot \ln x + \cfrac{\sin x}{x} \right) = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \cfrac{\sin x}{x} \right) y′=y(cosx⋅lnx+xsinx)=xsinx(cosx⋅lnx+xsinx)
对于一般型式的幂指函数
y = u v ( u > 0 ) , y = u^v \quad (u > 0) , y=uv(u>0),
如果 u = u ( x ) u = u(x) u=u(x) ， v = v ( x ) v = v(x) v=v(x) 都可导，那么可以像例5那样利用对数求导法求出幂指函数的导数，也可把幂指函数表示为
y = e v ln u . y = \mathrm{e}^{v \ln u} . y=evlnu.
这样便可直接求得
y ′ = e v ln u ( v ′ ⋅ ln u + v ⋅ u ′ u ) = u v ( v ′ ⋅ ln u + v u ′ u ) y' = \mathrm{e}^{v \ln u} \left( v' \cdot \ln u + v \cdot \cfrac{u'}{u} \right) = u^v \left( v' \cdot \ln u + \cfrac{v u'}{u} \right) y′=evlnu(v′⋅lnu+v⋅uu′)=uv(v′⋅lnu+uvu′)
例6 求 y = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) y = \sqrt{\cfrac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 4)}} y=(x−3)(x−4)(x−1)(x−2) 的导数。
解：先在等式两端取对数（假定 x > 4 x > 4 x>4），得
ln y = 1 2 [ ln ( x − 1 ) + ln ( x − 2 ) − ln ( x − 3 ) − ln ( x − 4 ) ] , \ln y = \cfrac{1}{2} [\ln(x - 1) + \ln(x - 2) - \ln(x - 3) - \ln(x - 4)] , lny=21[ln(x−1)+ln(x−2)−ln(x−3)−ln(x−4)],
上式两端对 x x x 求导，注意到 y = y ( x ) y = y(x) y=y(x) ，得，
1 y y ′ = 1 2 ( 1 x − 1 + 1 x − 2 − 1 x − 3 − 1 x − 4 ) \cfrac{1}{y} y' = \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{1}{x - 1} + \cfrac{1}{x - 2} - \cfrac{1}{x - 3} - \cfrac{1}{x - 4} \right) y1y′=21(x−11+x−21−x−31−x−41)
于是
y ′ = y 2 ( 1 x − 1 + 1 x − 2 − 1 x − 3 − 1 x − 4 ) . y' = \cfrac{y}{2} \left( \cfrac{1}{x - 1} + \cfrac{1}{x - 2} - \cfrac{1}{x - 3} - \cfrac{1}{x - 4} \right) . y′=2y(x−11+x−21−x−31−x−41).
当 x < 1 x < 1 x<1 时， y = ( 1 − x ) ( 2 − x ) ( 3 − x ) ( 4 − x ) y = \sqrt{\cfrac{(1 - x)(2 - x)}{(3 - x)(4 - x)}} y=(3−x)(4−x)(1−x)(2−x) ;
当 2 < x < 3 2 < x < 3 2<x<3 时， y = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( 3 − x ) ( 4 − x ) y = \sqrt{\cfrac{(x - 1)(x - 2)}{(3 - x)(4 - x)}} y=(3−x)(4−x)(x−1)(x−2) ,
用同样的方法可得与上面相同的结果。
二、由参数方程所确定的函数的导数
一般地，若参数方程
{ x = φ ( t ) y = ψ ( t ) \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x = \varphi (t) \\ y = \psi (t) \end{array} \right. \end{equation} {x=φ(t)y=ψ(t)
确定 y y y 与 x x x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程 ( 1 ) (1) (1) 所确定的函数。
在实际问题中，需要计算由参数方程 ( 1 ) (1) (1) 所确定的函数的导数。但从 ( 1 ) (1) (1) 中消去参数 t t t 有时会有困难。因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程 ( 1 ) (1) (1) 算出它所确定的函数的导数。
在 ( 1 ) (1) (1) 中，如果函数 x = φ ( t ) x = \varphi (t) x=φ(t) 具有单调连续反函数 t = φ − 1 ( x ) t = \varphi^{-1}(x) t=φ−1(x) ，且次反函数能与函数 y = ψ ( t ) y = \psi (t) y=ψ(t) 构成复合函数，那么由参数方程 ( 1 ) (1) (1) 所确定的函数可以看成是由函数 y = ψ ( t ) y = \psi (t) y=ψ(t) ， t = φ − 1 ( x ) t = \varphi^{-1}(x) t=φ−1(x) 复合而成的函数 y = ψ [ φ − 1 ( x ) ] y = \psi[\varphi^{-1} (x)] y=ψ[φ−1(x)] .现在要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数 x = φ ( t ) x = \varphi (t) x=φ(t) ， y = ψ ( t ) y = \psi (t) y=ψ(t) 都可导，而且 φ ′ ( t ) ≠ 0 \varphi' (t) \neq 0 φ′(t)=0 。于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有
d y d x = d y d t ⋅ d t d x = d y d t ⋅ 1 d x d t = ψ ′ ( t ) φ ′ ( x ) , \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \cfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \cfrac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \cfrac{\psi' (t)}{\varphi' (x)} , dxdy=dtdy⋅dxdt=dtdy⋅dtdx1=φ′(x)ψ′(t),
即
d y d x = ψ ′ ( t ) φ ′ ( x ) (2) \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\psi' (t)}{\varphi' (x)} \tag{2} dxdy=φ′(x)ψ′(t)(2)
上式也可以写成
d y d x = d y d t d x d t . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} . dxdy=dtdxdtdy.
( 2 ) (2) (2) 式就是由参数方程 ( 1 ) (1) (1) 所确定的 x x x 的函数的导数公式。
如果 x = φ ( t ) x = \varphi (t) x=φ(t) ， y = ψ ( t ) y = \psi (t) y=ψ(t) 还是二阶可导的，那么从 ( 2 ) (2) (2) 式又可以得到二阶导数公式
d 2 y d x 2 = d d t ( d y d x ) = d d t ( ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) ) ⋅ d t d x = ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) φ ′ ′ ( t ) φ ′ 2 ( t ) ⋅ 1 φ ′ ( t ) . \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) = \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cfrac{\psi' (t)}{\varphi' (t)} \right) \cdot \cfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\psi''(t) \varphi' (t) - \psi' (t) \varphi'' (t)}{\varphi'^2 (t)} \cdot \cfrac{1}{\varphi' (t)} . dx2d2y=dtd(dxdy)=dtd(φ′(t)ψ′(t))⋅dxdt=φ′2(t)ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)⋅φ′(t)1.
即
d 2 y d x 2 = ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) φ ′ ′ ( t ) φ ′ 3 ( t ) . \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{\psi''(t) \varphi' (t) - \psi' (t) \varphi'' (t)}{\varphi'^3 (t)} . dx2d2y=φ′3(t)ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t).
例7 已知椭圆的参数方程为
{ x = a cos t , y = b sin t , \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} x = a \cos t , \\ y = b \sin t , \end{array} \right. \end{equation*} {x=acost,y=bsint,
求椭圆在 t = π 4 t = \cfrac{\pi}{4} t=4π 相应的点处的切线方程。
解：当 t = π 4 t = \cfrac{\pi}{4} t=4π 时，椭圆上相应的点 M 0 M_0 M0 的坐标是
x 0 = a cos π 4 = 2 a 2 , y 0 = b sin π 4 = 2 b 2 . \begin{align*} x_0 &= a \cos{\cfrac{\pi}{4}} = \cfrac{\sqrt 2 a}{2} , \\ y_0 &= b \sin{\cfrac{\pi}{4}} = \cfrac{\sqrt 2 b}{2} . \end{align*} x0y0=acos4π=22 a,=bsin4π=22 b.
曲线在点 M 0 M_0 M0 的切线斜率为
d y d x ∣ t = π 4 = ( b sin t ) ′ ( a cos t ) ′ ∣ t = π 4 = b cos t − a sin t ∣ t = π 4 = − b a . \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|{t = \frac{\pi}{4}} = \left . \cfrac{(b \sin t)'}{(a \cos t)'} \right|{t = \frac{\pi}{4}} = \left . \cfrac{b \cos t}{-a \sin t} \right|_{t = \frac{\pi}{4}} = - \cfrac{b}{a} . dxdy t=4π=(acost)′(bsint)′ t=4π=−asintbcost t=4π=−ab.
代入点斜式方程，即得椭圆在点 M 0 M_0 M0 处的切线方程
y − 2 b 2 = − b a ( x − 2 a 2 ) y - \cfrac{\sqrt 2 b}{2} = - \cfrac{b}{a} \left( x - \cfrac{\sqrt 2 a}{2} \right) y−22 b=−ab(x−22 a)
化简后得
b x + a y − 2 a b = 0. bx + ay - \sqrt2 ab = 0 . bx+ay−2 ab=0.
例8 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为
{ x = v 1 t , y = v 2 t − 1 2 g t 2 , \left\{ \begin{align*} x &= v_1 t, \\ y &= v_2 t - \cfrac{1}{2} \mathrm{g} t^2, \end{align*} \right . ⎩ ⎨ ⎧xy=v1t,=v2t−21gt2,
求抛射体在时刻 t t t 的运动速和方向。
解：先求速度的大小
由于速度的水平分量为
d x d t = v 1 , \cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v_1 , dtdx=v1,
铅直分量为
d y d t = v 2 − g t , \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = v_2 - \mathrm{g}t , dtdy=v2−gt,
所以抛射体运动速度大小为
v = ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = v 1 2 + ( v 2 − g t ) 2 . v = \sqrt{\left( \cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} = \sqrt{v_1^2 + (v_2 - \mathrm{g}t)^2} . v=(dtdx)2+(dtdy)2 =v12+(v2−gt)2 .
再求速度的方向，也就是轨迹的切线方向。
设 α \alpha α 是切线的倾角，则根据导数的几何意义，得
tan α = d y d x = d y d t d x d t = v 2 − g t v 1 \tan \alpha = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \cfrac{v_2 - \mathrm{g}t}{v_1} tanα=dxdy=dtdxdtdy=v1v2−gt
在抛射体刚射出 ( 即 t = 0 ) (即t = 0) (即t=0) 时，
tan α ∣ t = 0 = d y d x ∣ t = 0 = v 2 v 1 ; \left . \tan \alpha \right|{t = 0} = \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|{t = 0} = \cfrac{v_2}{v_1} ; tanα∣t=0=dxdy t=0=v1v2;
当 t = v 2 g t = \cfrac{v_2}{\mathrm{g}} t=gv2 时，
tan α ∣ t = v 2 g = d y d x ∣ t = v 2 g = 0 , \left . \tan \alpha \right|{t = \frac{v_2}{\mathrm{g}}} = \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|{t = \frac{v_2}{\mathrm{g}}} = 0 , tanα∣t=gv2=dxdy t=gv2=0,
这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点。
例9 计算由摆线的参数方程
{ x = a ( t − sin t ) , y = a ( 1 − cos t ) \left \{ \begin{align*} x &= a (t - \sin t) , \\ y &= a (1 - \cos t) \end{align*} \right . {xy=a(t−sint),=a(1−cost)
所确定的函数 y = y ( x ) y = y(x) y=y(x) 的二阶导数。
解：
d y d x = d y d t d x d t = a sin t a ( 1 − cos t ) = sin t 1 − cos t = cot t 2 ( t ≠ 2 n π , n ∈ Z ) . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \cfrac{a \sin t}{a(1 - \cos t)} = \cfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot{\cfrac{t}{2}} \quad (t \neq 2n \pi , n \in \mathbb{Z}) . dxdy=dtdxdtdy=a(1−cost)asint=1−costsint=cot2t(t=2nπ,n∈Z).
d 2 y d x 2 = d d t ( cot t 2 ) ⋅ 1 d x d t = − 1 2 sin 2 t 2 ⋅ 1 a ( 1 − cos t ) = − 1 a ( 1 − cos t ) 2 ( t ≠ 2 n π , n ∈ Z ) . \begin{align*} \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} &= \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cot{\cfrac{t}{2}} \right) \cdot \cfrac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \\ &= - \cfrac{1}{2 \sin^2{\cfrac{t}{2}}} \cdot \cfrac{1}{a (1 - \cos t)} \\ &= - \cfrac{1}{a (1 - \cos t)^2} \quad (t \neq 2n \pi , n \in \mathbb{Z}) . \end{align*} dx2d2y=dtd(cot2t)⋅dtdx1=−2sin22t1⋅a(1−cost)1=−a(1−cost)21(t=2nπ,n∈Z).
三、相关变化率
设 x = x ( t ) x = x(t) x=x(t) 及 y = y ( t ) y = y(t) y=y(t) 都是可导函数，而变量 x x x 与 y y y 间存在某种关系，从而变化率 d x d t \cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} dtdx 与 d y d t \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} dtdy 间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率。
例10 一气球从离开观察员 500 m 500 \mathrm{m} 500m 处离地面铅直上升，当气球高度为 500 m 500 \mathrm{m} 500m 时，其速率为 140 m / m i n 140 \mathrm{m}/\mathrm{min} 140m/min （米/分）。求此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？
解：设气球上升 t t t s s s（秒）后，其高度为 h h h ，观察员视线的仰角为 α \alpha α ，则
tan α = h 500 , \tan \alpha = \cfrac{h}{500} , tanα=500h,
其中 α \alpha α 及 h h h 都与 t t t 存在可导的函数关系。上式两边对 t t t 求导，得
sec 2 α ⋅ d α d t = 1 500 ⋅ d h d t . \sec^2 \alpha \cdot \cfrac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} = \cfrac{1}{500} \cdot \cfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} . sec2α⋅dtdα=5001⋅dtdh.
由已知条件，存在 t 0 t_0 t0 使 h ∣ t = t 0 = 500 m \left . h \right|{t = t_0} = 500 \mathrm{m} h∣t=t0=500m ， d h d t ∣ t = t 0 = 140 m / m i n \left . \cfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} \right|{t = t_0} = 140 \mathrm{m}/\mathrm{min} dtdh t=t0=140m/min .又 tan α ∣ t = t 0 = 1 \left . \tan \alpha \right|{t = t_0} = 1 tanα∣t=t0=1 ， sec 2 α ∣ t = t 0 = 2 \left . \sec^2 \alpha \right|{t = t_0} = 2 sec2α t=t0=2 ，代入上式得
2 d α d t ∣ t = t 0 = 1 500 ⋅ 140 , \left . 2 \cfrac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} \right|_{t = t_0} = \cfrac{1}{500} \cdot 140 , 2dtdα t=t0=5001⋅140,
所以
d α d t ∣ t = t 0 = 70 500 = 0.14. \left . \cfrac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} \right|_{t = t_0} = \cfrac{70}{500} = 0.14 . dtdα t=t0=50070=0.14.
即此时观察员视线的仰角增加的速率为 0.14 r a d / m i n 0.14 \mathrm{rad}/\mathrm{min} 0.14rad/min （弧度/分）。