代码随想录刷题day32丨动态规划理论基础,509. 斐波那契数, 70. 爬楼梯, 746. 使用最小花费爬楼梯

代码随想录刷题day32丨动态规划理论基础,509. 斐波那契数, 70. 爬楼梯, 746. 使用最小花费爬楼梯

1.动态规划理论基础

  • 动态规划,英文:Dynamic Programming,简称DP,如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。

  • 动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的,这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优的

动态规划的解题步骤(动规五步曲)
  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导dp数组
  • 为什么要先确定递推公式,然后在考虑初始化呢?

    • 因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化!
  • 代码出错找问题的最好方式就是把dp数组打印出来,看看究竟是不是按照自己思路推导的!

  • 做动规的题目,写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍,心中有数,确定最后推出的是想要的结果

    然后再写代码,如果代码没通过就打印dp数组,看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。

    如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的,那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。

    如果和自己预先模拟推导的不一样,那么就是代码实现细节有问题。

2.题目

2.1斐波那契数

  • 视频讲解:手把手带你入门动态规划 | LeetCode:509.斐波那契数_哔哩哔哩_bilibili

  • 文档讲解:https://programmercarl.com/0509.斐波那契数.html

  • 解题思路:动态规划

    • 确定dp数组以及下标的含义

      java 复制代码
      dp[i]的定义为:第i个数的斐波那契数值是dp[i]
    • 确定递推公式

      java 复制代码
      dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    • dp数组如何初始化

      java 复制代码
      dp[0] = 0;
      dp[1] = 1;
    • 确定遍历顺序

      java 复制代码
      从前到后遍历
    • 举例推导dp数组

      java 复制代码
      按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2],我们来推导一下,当N为10的时候,dp数组应该是如下的数列:
      
      0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
      
      如果代码写出来,发现结果不对,就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
  • 代码:

    java 复制代码
    //dp解法
    //时间复杂度:O(n)
    //空间复杂度:O(n)
    class Solution {
        public int fib(int n) {
            if(n <= 1){
                return n;
            }
            int[] dp = new int[n + 1];
            dp[0] = 0;
            dp[1] = 1;
            for(int i = 2;i <= n;i++){
                dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
            }
            return dp[n];
        }
    }
    java 复制代码
    //压缩版dp,只需要维护两个数值就可以了,不需要记录整个序列
    //时间复杂度:O(n)
    //空间复杂度:O(1)
    class Solution {
        public int fib(int n) {
            if(n <= 1){
                return n;
            }
            int a = 0;
            int b = 1;
            int c = 0;
            for(int i = 2;i <= n;i++){
                c = a + b;
                a = b;
                b = c;
            }
            return c;
        }
    }
    java 复制代码
    //递归解法
    //时间复杂度:O(2^n)
    //空间复杂度:O(n),算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间
    class Solution {
        public int fib(int n) {     
            if(n <= 1){
                return n;
            }
            return fib(n - 1) + fib(n - 2);
        }
    }
  • 总结:

    • 动规五部曲方法很重要!

2.2爬楼梯

  • 题目链接:70. 爬楼梯 - 力扣(LeetCode)

  • 视频讲解:带你学透动态规划-爬楼梯(对应力扣70.爬楼梯)| 动态规划经典入门题目_哔哩哔哩_bilibili

  • 文档讲解:https://programmercarl.com/0070.爬楼梯.html

  • 解题思路:动态规划

    • 确定dp数组以及下标的含义

      java 复制代码
      dp[i]: 爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法
    • 确定递推公式

      java 复制代码
      dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 
    • dp数组如何初始化

      java 复制代码
      dp[1] = 1,dp[2] = 2
    • 确定遍历顺序

      java 复制代码
      从前向后遍历
    • 举例推导dp数组

      java 复制代码
      举例当n为5的时候,dp数组应该是:    
  • 代码:

    java 复制代码
    class Solution {
        public int climbStairs(int n) {
            if(n == 1){
                return 1;
            }
            int[] dp = new int[n + 1];
            dp[1] = 1;
            dp[2] = 2;
            for(int i = 3;i <= n;i++){
                dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
            }
            return dp[n];
        }
    }

    为什么需要特殊处理 n = 1

    • 如果 n = 1,代码只需要直接返回 1,因为到达第 1 阶只有一种方法:一步爬到。
    • 而当 n = 1 时,你不应该初始化 dp[2] = 2;,因为数组中只有 dp[0]dp[1]dp[2] 并不存在,试图访问它会引发数组越界。
  • 总结:

    • 题目中要求的每次可以爬1或者2个台阶,也就是说,最终到达n阶台阶有两种方式,一个是爬1阶台阶到达(对应的是从n-1阶台阶开始),那么另一个就是爬2阶台阶到达(对应的是从n-2阶台阶开始爬),而爬n-1阶和n-2阶台阶的方法有dp【n-1】,dp【n-2】个。所以最终爬n阶台阶的方法种类就是dp【n-1】+dp【n-2】。其实也对应了卡哥所说的从n-1和n-2阶爬上去,探究的是几种走法,而不是几步。
    • 没有讨论dp[0]应该是什么,因为dp[0]在本题没有意义!

2.3使用最小花费爬楼梯

  • 题目链接:746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣(LeetCode)

  • 视频讲解:动态规划开更了!| LeetCode:746. 使用最小花费爬楼梯_哔哩哔哩_bilibili

  • 文档讲解:https://programmercarl.com/0746.使用最小花费爬楼梯.html

  • 解题思路:动态规划

    • 图示

    • 确定dp数组以及下标的含义

      java 复制代码
      dp[i]的定义:到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]
    • 确定递推公式

      java 复制代码
      可以有两个途径得到dp[i],一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
      
      dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
      
      dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
      
      那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢?
      
      一定是选最小的,所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
    • dp数组如何初始化

      java 复制代码
      dp[0] = 0;//到达 第 0 个台阶是不花费的,但从 第0 个台阶 往上跳的话,需要花费 cost[0]。
      dp[1] = 0;//到达 第 1 个台阶是不花费的,但从 第1 个台阶 往上跳的话,需要花费 cost[1]。
    • 确定遍历顺序

      java 复制代码
      从前到后遍历
    • 举例推导dp数组

      java' 复制代码
      拿示例2:cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ,来模拟一下dp数组的状态变化,如下:
  • 代码:

    java 复制代码
    class Solution {
        public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
            int[] dp = new int[cost.length + 1];
            // 从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始,因此支付费用为0
            dp[0] = 0;
            dp[1] = 0;
            // 计算到达每一层台阶的最小费用
            for(int i = 2;i <= cost.length;i++){
                dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1],dp[i - 2] + cost[i - 2]);
            }
            return dp[cost.length];
        }
    }
  • 总结:

    • 理解自己定义的dp[i] 至关重要
    • 初始化的时候要结合实际情况
    • 注意数组越界问题
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