代码随想录刷题day32丨动态规划理论基础,509. 斐波那契数, 70. 爬楼梯, 746. 使用最小花费爬楼梯
1.动态规划理论基础
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动态规划,英文:Dynamic Programming,简称DP,如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。
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动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的,这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优的
动态规划的解题步骤(动规五步曲)
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
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为什么要先确定递推公式,然后在考虑初始化呢?
- 因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化!
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代码出错找问题的最好方式就是把dp数组打印出来,看看究竟是不是按照自己思路推导的!
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做动规的题目,写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍,心中有数,确定最后推出的是想要的结果。
然后再写代码,如果代码没通过就打印dp数组,看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。
如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的,那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。
如果和自己预先模拟推导的不一样,那么就是代码实现细节有问题。
2.题目
2.1斐波那契数
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解题思路:动态规划
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确定dp数组以及下标的含义
javadp[i]的定义为:第i个数的斐波那契数值是dp[i]
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确定递推公式
javadp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
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dp数组如何初始化
javadp[0] = 0; dp[1] = 1;
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确定遍历顺序
java从前到后遍历
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举例推导dp数组
java按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2],我们来推导一下,当N为10的时候,dp数组应该是如下的数列: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 如果代码写出来,发现结果不对,就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
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代码:
java//dp解法 //时间复杂度:O(n) //空间复杂度:O(n) class Solution { public int fib(int n) { if(n <= 1){ return n; } int[] dp = new int[n + 1]; dp[0] = 0; dp[1] = 1; for(int i = 2;i <= n;i++){ dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } return dp[n]; } }
java//压缩版dp,只需要维护两个数值就可以了,不需要记录整个序列 //时间复杂度:O(n) //空间复杂度:O(1) class Solution { public int fib(int n) { if(n <= 1){ return n; } int a = 0; int b = 1; int c = 0; for(int i = 2;i <= n;i++){ c = a + b; a = b; b = c; } return c; } }
java//递归解法 //时间复杂度:O(2^n) //空间复杂度:O(n),算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间 class Solution { public int fib(int n) { if(n <= 1){ return n; } return fib(n - 1) + fib(n - 2); } }
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总结:
- 动规五部曲方法很重要!
2.2爬楼梯
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解题思路:动态规划
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确定dp数组以及下标的含义
javadp[i]: 爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法
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确定递推公式
javadp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
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dp数组如何初始化
javadp[1] = 1,dp[2] = 2
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确定遍历顺序
java从前向后遍历
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举例推导dp数组
java举例当n为5的时候,dp数组应该是:
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代码:
javaclass Solution { public int climbStairs(int n) { if(n == 1){ return 1; } int[] dp = new int[n + 1]; dp[1] = 1; dp[2] = 2; for(int i = 3;i <= n;i++){ dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } return dp[n]; } }
为什么需要特殊处理
n = 1
?- 如果
n = 1
,代码只需要直接返回 1,因为到达第 1 阶只有一种方法:一步爬到。 - 而当
n = 1
时,你不应该初始化dp[2] = 2;
,因为数组中只有dp[0]
和dp[1]
,dp[2]
并不存在,试图访问它会引发数组越界。
- 如果
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总结:
- 题目中要求的每次可以爬1或者2个台阶,也就是说,最终到达n阶台阶有两种方式,一个是爬1阶台阶到达(对应的是从n-1阶台阶开始),那么另一个就是爬2阶台阶到达(对应的是从n-2阶台阶开始爬),而爬n-1阶和n-2阶台阶的方法有dp【n-1】,dp【n-2】个。所以最终爬n阶台阶的方法种类就是dp【n-1】+dp【n-2】。其实也对应了卡哥所说的从n-1和n-2阶爬上去,探究的是几种走法,而不是几步。
- 没有讨论dp[0]应该是什么,因为dp[0]在本题没有意义!
2.3使用最小花费爬楼梯
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解题思路:动态规划
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图示
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确定dp数组以及下标的含义
javadp[i]的定义:到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]
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确定递推公式
java可以有两个途径得到dp[i],一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。 dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。 dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。 那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢? 一定是选最小的,所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
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dp数组如何初始化
javadp[0] = 0;//到达 第 0 个台阶是不花费的,但从 第0 个台阶 往上跳的话,需要花费 cost[0]。 dp[1] = 0;//到达 第 1 个台阶是不花费的,但从 第1 个台阶 往上跳的话,需要花费 cost[1]。
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确定遍历顺序
java从前到后遍历
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举例推导dp数组
java'拿示例2:cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ,来模拟一下dp数组的状态变化,如下:
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代码:
javaclass Solution { public int minCostClimbingStairs(int[] cost) { int[] dp = new int[cost.length + 1]; // 从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始,因此支付费用为0 dp[0] = 0; dp[1] = 0; // 计算到达每一层台阶的最小费用 for(int i = 2;i <= cost.length;i++){ dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1],dp[i - 2] + cost[i - 2]); } return dp[cost.length]; } }
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总结:
- 理解自己定义的dp[i] 至关重要
- 初始化的时候要结合实际情况
- 注意数组越界问题