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[题目一：卡码网 94. 城市间货物运输 I](#题目一：卡码网 94. 城市间货物运输 I)
[题目二：卡码网 95. 城市间货物运输 II](#题目二：卡码网 95. 城市间货物运输 II)
[题解： 队列优化Bellman-Ford算法（SPFA）](#题解： 队列优化Bellman-Ford算法（SPFA）)
[题目三：卡码网 96. 城市间货物运输 III](#题目三：卡码网 96. 城市间货物运输 III)
[题解： Bellman-Ford算法](#题解： Bellman-Ford算法)
一、Bellman_ford算法的应用
Bellman-Ford算法是一种用于解决单源最短路径问题的算法，它能够处理含有负权边的图，并且能够检测图中是否存在负权回路。
其应用一般分为以下几个方面：
1、最短路径问题：在图论中，Bellman - Ford算法是解决单源最短路径问题的有效工具。它可以找到从一个顶点到所有其他顶点的最短路径。
2、负权边：与Dijkstra算法不同，Bellman - Ford算法能够处理含有负权边的图。这意味着它可以解决那些包含负权重边的图的最短路径问题。
3、运输问题：在运输问题中，需要找到从一个供应点（源）到多个需求点（汇）的最小成本运输路径。Bellman - Ford算法可以用来解决这个问题，尤其是在存在负权边的情况下。
4、流网络问题：在流网络中，Bellman - Ford算法可以用来找到从一个节点到另一个节点的最大流。这是因为在某些流网络问题中，边的权重可以表示为流量的限制。
5、网络流问题：在网络流问题中，Bellman - Ford算法可以用来找到从一个源点到汇点的最小费用流。这涉及到在网络中传输物质或信息，并需要最小化成本。
6、动态最短路径问题：在某些情况下，图的结构可能会发生变化，例如添加或删除边。Bellman - Ford算法可以用来动态地更新最短路径信息。
7、多源最短路径问题：Bellman - Ford算法可以扩展为解决多源最短路径问题，即找到多个源点到其他所有顶点的最短路径。
8、网络路由问题：在网络路由问题中，需要找到从一个网络节点到另一个网络节点的最佳路径。Bellman - Ford算法可以用来解决包含负权边的网络路由问题。
Bellman-Ford算法的主要优点是它能够处理负权边 ，这是其他最短路径算法（如Dijkstra算法）所不能做到的。然而，它的主要缺点是时间复杂度较高，为O(VE)，其中V是顶点数，E是边数。在实际应用中，如果图中的边数远大于顶点数，Bellman-Ford算法可能不如Dijkstra算法高效。
二、题目与题解
题目一：卡码网 94. 城市间货物运输 I
题目链接
题目描述
某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。
网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用；权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。
请找出从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中，综合政府补贴后的最低运输成本。如果最低运输成本是一个负数，它表示在遵循最优路径的情况下，运输过程中反而能够实现盈利。
城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况，同时保证道路网络中不存在任何负权回路。
输入描述
第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。
接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v （单向图）。
输出描述
如果能够从城市 1 到连通到城市 n， 请输出一个整数，表示运输成本。如果该整数是负数，则表示实现了盈利。如果从城市 1 没有路径可达城市 n，请输出 "unconnected"。
输入示例
6 7 5 6 -2 1 2 1 5 3 1 2 5 2 2 4 -3 4 6 4 1 3 5输出示例
1提示信息
示例中最佳路径是从 1 -> 2 -> 5 -> 6，路上的权值分别为 1 2 -2，最终的最低运输成本为 1 + 2 + (-2) = 1。
示例 2：
4 2
1 2 -1
3 4 -1
在此示例中，无法找到一条路径从 1 通往 4，所以此时应该输出 "unconnected"。
数据范围：
1 <= n <= 1000；
1 <= m <= 10000;
-100 <= v <= 100;
题解：队列优化Bellman-Ford算法（SPFA）
这题在昨天的打卡中已经有提到一般实现的Bellman-Ford算法，今天这里将用队列优化后的Bellman-Ford算法进行实现。
Bellman - Ford算法实现：
1、创建一个队列q，先将源点加入队列。
2、进入循环，当队列非空时，继续执行以下操作：
（1）从队列中取出队头节点node；
（2）标记该节点已从队列中取出；
（3）遍历当前节点的所有邻接边：
a.如果通过当前节点到达邻接节点的距离更短，则更新最短距离；
b.如果邻接节点不在队列中，则将其加入队列，并标记为已加入。
完整代码如下：
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Edge // 邻接表
{
int to; // 边的指向节点（边链接的节点 -- 邻接节点）
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w) : to(t), val(w) {} // 构造函数，初始化边的指向节点和权重
};
int main()
{
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 创建一个邻接表，存储图的信息，大小为n+1，因为节点编号从1开始
vector<bool> inQueue(n + 1); // 用于标记节点是否已经在队列中（避免重复添加）
// 将所有边保存起来，构建邻接表
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1].push_back(Edge(p2, val)); // p1指向p2，边权重为val，将边添加到邻接表中
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX); // 初始化最短距离数组，所有节点到源点的最短距离初始为无穷大
minDist[start] = 0; // （除外）源点到自己的距离为0
// 队列优化Bellman-Ford算法
queue<int> q;
q.push(start); //先将起点加入队列
while (!q.empty())
{
int node = q.front(); // 取出队头节点 -- 作为后续邻接边的起始节点
q.pop();
inQueue[node] = false; // 标记该节点已从队列中取出
// 遍历当前节点的所有邻接边 -- 当前节点即是这些边的起始节点
for (Edge edge : grid[node])
{
int from = node;
int to = edge.to;
int value = edge.val;
if (minDist[to] > minDist[from] + value) // 开始松弛：如果通过当前节点到达邻接节点to的距离更短，则更新邻接节点to到源点的最短距离
{
minDist[to] = minDist[from] + value;
if (inQueue[to] == false) // 如果该节点不在队列中，则加入队列，并标记为已加入
{
q.push(to);
inQueue[to] = true;
}
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX)
cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点
else
cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}题目二：卡码网 95. 城市间货物运输 II
题目链接
95. 城市间货物运输 II (kamacoder.com)
题目描述
某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。
网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用；权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。
然而，在评估从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中综合政府补贴后的最低运输成本时，存在一种情况：**图中可能出现负权回路。**负权回路是指一系列道路的总权值为负，这样的回路使得通过反复经过回路中的道路，理论上可以无限地减少总成本或无限地增加总收益。为了避免货物运输商采用负权回路这种情况无限的赚取政府补贴，算法还需检测这种特殊情况。
请找出从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中，综合政府补贴后的最低运输成本。同时能够检测并适当处理负权回路的存在。
城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况
输入描述
第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。
接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v。
输出描述
如果没有发现负权回路，则输出一个整数，表示从城市
1到城市n的最低运输成本（包括政府补贴）。如果该整数是负数，则表示实现了盈利。如果发现了负权回路的存在，则输出 "circle"。如果从城市 1 无法到达城市 n，则输出 "unconnected"。输入示例
4 4 1 2 -1 2 3 1 3 1 -1 3 4 1输出示例
circle提示信息
路径中存在负权回路，从 1 -> 2 -> 3 -> 1，总权值为 -1，理论上货物运输商可以在该回路无限循环赚取政府补贴，所以输出 "circle" 表示已经检测出了该种情况。
数据范围：
1 <= n <= 1000；
1 <= m <= 10000;
-100 <= v <= 100;
题解： 队列优化Bellman-Ford算法（SPFA）
这题是bellman-ford算法判断负权回路的应用。
和上一题相比较，区别也就在于对负权回路的判断，其余思路保持一致。
故这里有一个关键，即如何判断负权回路：
我们用计数器记录每个节点加入队列的次数。如果某个节点的计数器达到了n（即所有节点的数量），那么这个节点在经过V-1次松弛操作后，仍然可以通过负权边继续进行松弛。这违反了Bellman-Ford算法的假设，即在V-1次松弛操作后，最短路径应该已经被找到。因此，可以判断出图中存在负权回路。
完整代码如下：
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Edge // 邻接表
{
int to; // 边的指向节点（边链接的节点 -- 邻接节点）
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w) : to(t), val(w) {} // 构造函数，初始化边的指向节点和权重
};
int main()
{
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 创建一个邻接表，存储图的信息，大小为n+1，因为节点编号从1开始
vector<bool> inQueue(n + 1); // 用于标记节点是否已经在队列中（避免重复添加）
// 将所有边保存起来，构建邻接表
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1].push_back(Edge(p2, val)); // p1指向p2，边权重为val，将边添加到邻接表中
}
int start = 1; // 起点（源点）
int end = n; // 终点
vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
minDist[start] = 0;
queue<int> q;
q.push(start); // 队列里放入起点
vector<int> count(n + 1, 0); // 创建一个计数器数组，用于记录每个节点加入队列的次数
count[start]++; // 刚放入一次起点，计数+1
bool flag = false; // 设置一个标志，用于标记是否找到了负权回路，初始化为false
while (!q.empty())
{
int node = q.front();
q.pop();
for (Edge edge : grid[node])
{
int from = node;
int to = edge.to;
int value = edge.val;
if (minDist[to] > minDist[from] + value) // 开始松弛：如果通过当前节点到达邻接节点to的距离更短，则更新邻接节点to到源点的最短距
{
minDist[to] = minDist[from] + value;
q.push(to);
count[to]++;
if (count[to] == n) // 关键：如果加入队列次数超过n-1次，就说明该图与负权回路
{
flag = true;
while (!q.empty())
q.pop();
break;
}
}
}
}
if (flag) // 如果存在负权回路，输出"circle"
cout << "circle" << endl;
else if (minDist[end] == INT_MAX)
cout << "unconnected" << endl;
else
cout << minDist[end] << endl;
}题目三：卡码网 96. 城市间货物运输 III
题目链接
96. 城市间货物运输 III (kamacoder.com)
题目描述
某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。
网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，**道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。**权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用；权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。
请计算在最多经过 k 个城市的条件下，从城市 src 到城市 dst 的最低运输成本。
输入描述
第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。
接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v。
最后一行包含三个正整数，src、dst、和 k，src 和 dst 为城市编号，从 src 到 dst 经过的城市数量限制。
输出描述
输出一个整数，表示从城市 src 到城市 dst 的最低运输成本，如果无法在给定经过城市数量限制下找到从 src 到 dst 的路径，则输出 "unreachable"，表示不存在符合条件的运输方案。
输入示例
6 7 1 2 1 2 4 -3 2 5 2 1 3 5 3 5 1 4 6 4 5 6 -2 2 6 1输出示例
0提示信息
从 2 -> 5 -> 6 中转一站，运输成本为 0。
1 <= n <= 1000；
1 <= m <= 10000;
-100 <= v <= 100;
题解： Bellman-Ford算法
这题是bellman_ford算法解决单源有限最短路问题的应用。
这题Bellman - Ford算法实现的关键在于：
使用minDist_copy来保留上一次迭代的结果，从而避免重复计算和比较，提高算法的效率。如果在当前迭代中没有发现新的更短路径，那么在接下来的迭代中，可以只检查minDist_copy是否已经包含了一条更短的路径，如果没有，那么就不需要更新minDist数组。
通过进行k + 1次松弛操作，每次迭代开始时，将当前的minDist数组的内容复制到minDist_copy中。 遍历所有边，进行松弛操作。如果在松弛过程中发现通过某个节点到达某个邻接节点的距离更短，则更新最短距离。
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int src, dst, k, p1, p2, val, m, n; // 起点src，终点dst，松弛次数k
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> grid; // 创建一个二维向量grid，用于存储图的信息：每个元素都是一条边（包含起始点，终止点，权值）
// 读取所有边，并添加到grid中
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid.push_back({p1, p2, val});
}
cin >> src >> dst >> k;
vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX); // 用于存储从起点到每个节点的最短距离，都初始化为最大值INT_MAX
minDist[src] = 0; // 起点除外，起点到本身的距离为0
vector<int> minDist_copy(n + 1); // 用来记录上一次遍历的结果
// 进行k次松弛操作
for (int i = 1; i <= k + 1; i++)
{
minDist_copy = minDist; // 将上一次计算的结果赋值给minDist_copy：即将当前的minDist数组的内容复制到一个新的数组minDist_copy中
// 遍历所有边，进行松弛操作
for (vector<int> &side : grid)
{
int from = side[0];
int to = side[1];
int price = side[2];
// 注意使用 minDist_copy 来计算 minDist
if (minDist_copy[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist_copy[from] + price)
{
minDist[to] = minDist_copy[from] + price;
}
}
}
if (minDist[dst] == INT_MAX) // 不能到达终点
cout << "unreachable" << endl;
else
cout << minDist[dst] << endl; // 到达终点最短路径
}三、小结
Bellman_ford算法的打卡到此结束，后边会继续加油！