3d gaussian splatting公式推导

1. 离散公式推导

nerf中连续的积分渲染公式是:

其中被遮挡率:

那么转换为离散公式后有:

其中,代表j时刻的时间差,将其带入渲染公式:

设透明度

则被遮挡率

而gaussian-splating的公式与nerf不一样的点在于,透明度的计算是根据像素点处于2D高斯球的概率求得的:

其中是3D高斯球溅射到屏幕上形成的2D高斯球的均值,是2D高斯球的协方差

2. 正向渲染公式推导

正向渲染是指从3D高斯球渲染到2D屏幕中某个像素值的颜色的过程。

2.1 3D高斯到2D高斯

首先,3D高斯参数有高斯球的中心即均值,协方差,透明度,颜色,2D高斯参数有高斯球的中心即均值,协方差

对于均值来说,其值就是将转换到屏幕坐标系上就可以了

从世界坐标系转换到相机坐标系下,

这里3D高斯球的表示是通过一个旋转R和一个缩放矩阵S的乘积表示的,即,这么表示的原理是协方差是一个椭球,标准正态分布是一个圆,椭球就是将这个圆进行旋转缩放变成的。是标准正态分布的协方差,它是一个单位矩阵,所以可以省略。

3. 反向传播公式推导

参考:

【CV】Nerf中体素渲染的离散公式推导 - Edlinf - 博客园

https://zhuanlan.zhihu.com/p/633106694

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