组合数求法汇总

一:递推求解

对于组合数,有此式: C n m = C n − 1 m − 1 + C n − 1 m C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m} Cnm=Cn−1m−1+Cn−1m。

C n m C_{n}^{m} Cnm 可理解为 n n n 个数中选 m m m 个,不同的方案。对于第 n n n 个,可以选或不选,分别对应了 C n − 1 m − 1 C_{n-1}^{m-1} Cn−1m−1 和 C n − 1 m C_{n-1}^{m} Cn−1m 的方案,根据加法原理,令它们相加就得到了 C n m C_{n}^{m} Cnm。

此方法适用于 n n n 的范围不是很大的情况,而限制没有,即方便写高精度,也可以对任意模数取模,唯一缺点便是时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。

附代码:

cpp 复制代码
for(int i=0;i<=n;i++){
	for(int j=0;j<=i;j++){
		if(j==0) C[i][j]=1;
		else C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
	}
}

二:利用公式,用逆元求解

根据组合数公式 C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!(n−m)!n!,在取模的意义下,除一个数等于乘它的逆元,我们就可以线性求出阶乘逆元,然后 O ( 1 ) O(1) O(1)求解组合数。

而此方法要求模数是质数,并且逆元必须存在。一般在模一个很大的质数

(例如 998244353 998244353 998244353 或 1 e 9 + 7 1e9+7 1e9+7)的情况下可以优先考虑它。

附代码:

cpp 复制代码
int qpow(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod,b>>=1;}
	return res;
}
int C(int n,int m){
	if(n<m) return 0;
	return fac[n]*infac[m]%mod*infac[n-m]%mod;
}
void init(){
	fac[0]=1;int t=1e6;//1<=n<=1e6
	for(int i=1;i<=t;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	infac[t]=qpow(fac[t],mod-2);
	for(int i=t-1;i>=0;i--) infac[i]=infac[i+1]*(i+1)%mod;
}

三:Lucas定理

我们上文说了逆元求组合数需要模上一个质数,那么在模数任意的情况下如何求解?

这就需要利用 Lucas 定理来求解。

先上 Lucas 定理给出的式子: C n m ≡ C n m o d p m m o d p ∗ C n / p m / p ( m o d p ) C_{n}^{m}\equiv C_{n_{} mod_{}p}^{m_{}mod_{}p}*C_{n/p}^{m/p}(mod_{}p) Cnm≡Cnmodpmmodp∗Cn/pm/p(modp)。

由此,我们可以先预处理出 [ 1 , p ] [1,p] [1,p] 范围内的阶乘逆元,然后递归求解。另外,Lucas 定理也有适用范围,它一般适用于模数并不是很大(一般是小质数,范围在 1 e 5 1e5 1e5 左右,这个时候可以放心求解)。并且它还可以用于 n , m n,m n,m 非常大,模数非常小,的情况。

具体可看代码实现:

cpp 复制代码
int Lucas(int n,int m,int p){
	if(m==0) return 1;
	return C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;//C(n%p,m%p)见上文
}

附:练习

下面是一些求组合数的练习题。
Lucas 定理

(纯模版题)

P3223 [HNOI2012] 排队

(梦回高中数学,需要推出式子,然后高精度求)

P2822 [NOIP2016 提高组]组合数问题

(递推+高精度求组合数,需要一定优化技巧)

P1680 奇怪的分组

(插板法,蛮简单的)

P1655 小朋友的球

(斯特林数,如果不知道的话很难推出来,可以学一学)

相关推荐
无难事者若执8 分钟前
新手村:逻辑回归-理解03:逻辑回归中的最大似然函数
算法·机器学习·逻辑回归
写代码写到手抽筋12 分钟前
C++多线程的性能优化
java·c++·性能优化
二进制人工智能14 分钟前
【QT5 网络编程示例】UDP 通信
c++·qt
Maple_land15 分钟前
# C++初阶——内存管理
c++
IT从业者张某某24 分钟前
机器学习-04-分类算法-03KNN算法案例
算法·机器学习·分类
予安灵26 分钟前
第十二届蓝桥杯省赛软件类(c&c++组)
c语言·c++·蓝桥杯
chen_song_28 分钟前
WebRTC的ICE之TURN协议的交互流程中继转发Relay媒体数据的turnserver的测试
算法·音视频·webrtc·交互·媒体
蒙奇D索大44 分钟前
【数据结构】图解图论:度、路径、连通性,五大概念一网打尽
数据结构·考研·算法·图论·改行学it
uhakadotcom1 小时前
2025年春招:如何使用DeepSeek + 豆包优化简历,轻松敲开心仪公司的大门
算法·面试·github
小白狮ww1 小时前
Retinex 算法 + MATLAB 软件,高效率完成图像去雾处理
开发语言·人工智能·算法·matlab·自然语言处理·图像识别·去雾处理