封面 1
版权 3
译者序 7
前言 9
致谢 14
目录 15
第1章 函数、图像和直线 22
1.1 函数 22
1.1.1 区间表示法 24
1.1.2 求定义域 24
1.1.3 利用图像求值域 25
1.1.4 垂线检验 26
1.2 反函数 27
1.2.1 水平线检验 28
1.2.2 求反函数 29
1.2.3 限制定义域 29
1.2.4 反函数的反函数 30
1.3 函数的复合 31
1.4 奇函数和偶函数 33
1.5 线性函数的图像 35
1.6 常见函数及其图像 37
第2章 三角学回顾 42
2.1 基本知识 42
2.2 扩展三角函数定义域 44
2.2.1 ASTC 方法 46
2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函数 48
2.3 三角函数的图像 50
2.4 三角恒等式 53
第3章 极限导论 55
3.1 极限：基本思想 55
3.2 左极限与右极限 57
3.3 何时不存在极限 58
3.4 在∞和-∞处的极限 59
3.5 关于渐近线的两个常见误解 62
3.6 三明治定理 64
3.7 极限的基本类型小结 66
第4章 求解多项式的极限问题 68
4.1 x → a 时的有理函数的极限 68
4.2 x → a 时的平方根的极限 71
4.3 x → ∞ 时的有理函数的极限 72
4.4 x → ∞ 时的多项式型函数的极限 77
4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限 80
4.6 包含绝对值的函数的极限 82
第5章 连续性和可导性 84
5.1 连续性 84
5.1.1 在一点处连续 84
5.1.2 在一个区间上连续 85
5.1.3 连续函数的一些例子 86
5.1.4 介值定理 88
5.1.5 一个更难的介值定理例子 90
5.1.6 连续函数的最大值和最小值 91
5.2 可导性 92
5.2.1 平均速率 93
5.2.2 位移和速度 93
5.2.3 瞬时速度 94
5.2.4 速度的图像阐释 95
5.2.5 切线 96
5.2.6 导函数 98
5.2.7 作为极限比的导数 99
5.2.8 线性函数的导数 101
5.2.9 二阶导数和更高阶导数 101
5.2.10 何时导数不存在 102
5.2.11 可导性和连续性 103
第6章 求解微分问题 105
6.1 使用定义求导 105
6.2 用更好的办法求导 108
6.2.1 函数的常数倍 109
6.2.2 函数和与函数差 109
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 109
6.2.4 通过商法则求商函数的导数 111
6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数 112
6.2.6 那个难以处理的例子 115
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 117
6.3 求切线方程 119
6.4 速度和加速度 120
6.5 导数伪装的极限 122
6.6 分段函数的导数 124
6.7 直接画出导函数的图像 127
第7章 三角函数的极限和导数 132
7.1 三角函数的极限 132
7.1.1 小数的情况 132
7.1.2 问题的求解------小数的情况 134
7.1.3 大数的情况 138
7.1.4 "其他的" 情况 141
7.1.5 一个重要极限的证明 142
7.2 三角函数的导数 145
7.2.1 求三角函数导数的例子 148
7.2.2 简谐运动 149
7.2.3 一个有趣的函数 150
第8章 隐函数求导和相关变化率 153
8.1 隐函数求导 153
8.1.1 技巧和例子 154
8.1.2 隐函数求二阶导 158
8.2 相关变化率 159
8.2.1 一个简单的例子 160
8.2.2 一个稍难的例子 162
8.2.3 一个更难的例子 163
8.2.4 一个非常难的例子 165
第9章 指数函数和对数函数 169
9.1 基础知识 169
9.1.1 指数函数的回顾 169
9.1.2 对数函数的回顾 170
9.1.3 对数函数、指数函数及反函数 171
9.1.4 对数法则 172
9.2 e 的定义 174
9.2.1 一个有关复利的问题 174
9.2.2 问题的答案 175
9.2.3 更多关于e 和对数函数的内容 177
9.3 对数函数和指数函数求导 179
9.4 求解指数函数或对数函数的极限 182
9.4.1 涉及e的定义的极限 182
9.4.2 指数函数在0附近的行为 183
9.4.3 对数函数在1附近的行为 185
9.4.4 指数函数在∞或-∞附近的行为 185
9.4.5 对数函数在∞附近的行为 188
9.4.6 对数函数在0附近的行为 189
9.5 取对数求导法 190
9.6 指数增长和指数衰变 194
9.6.1 指数增长 195
9.6.2 指数衰变 197
9.7 双曲函数 199
第10章 反函数和反三角函数 202
10.1 导数和反函数 202
10.1.1 使用导数证明反函数存在 202
10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题 203
10.1.3 求反函数的导数 204
10.1.4 一个综合性例子 206
10.2 反三角函数 208
10.2.1 反正弦函数 208
10.2.2 反余弦函数 211
10.2.3 反正切函数 213
10.2.4 反正割函数 215
10.2.5 反余割函数和反余切函数 216
10.2.6 计算反三角函数 217
10.3 反双曲函数 220
第11章 导数和图像 223
11.1 函数的极值 223
11.1.1 全局极值和局部极值 223
11.1.2 极值定理 224
11.1.3 求全局最大值和最小值 225
11.2 罗尔定理 227
11.3 中值定理 230
11.4 二阶导数和图像 233
11.5 对导数为零点的分类 236
11.5.1 使用一次导数 236
11.5.2 使用二阶导数 238
第12章 绘制函数图像 240
12.1 建立符号表格 240
12.1.1 建立一阶导数的符号表格 242
12.1.2 建立二阶导数的符号表格 243
12.2 绘制函数图像的全面方法 245
12.3 例题 246
12.3.1 一个不使用导数的例子 246
12.3.2 完整的方法：例一 248
12.3.3 完整的方法：例二 250
12.3.4 完整的方法：例三 252
12.3.5 完整的方法：例四 255
第13章 最优化和线性化 260
13.1 最优化 260
13.1.1 一个简单的最优化例子 260
13.1.2 最优化问题：一般方法 261
13.1.3 一个最优化的例子 262
13.1.4 另一个最优化的例子 263
13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导 267
13.1.6 一个较难的最优化例子 267
13.2 线性化 270
13.2.1 线性化问题：一般方法 272
13.2.2 微分 273
13.2.3 线性化的总结和例子 275
13.2.4 近似中的误差 277
13.3 牛顿法 279
第14章 洛必达法则及极限问题总结 284
14.1 洛必达法则 284
14.1.1 类型A：0/0 284
14.1.2 类型A：±∞/±∞ 287
14.1.3 类型B1: (∞－∞) 288
14.1.4 类型B2: (0 ×±∞) 290
14.1.5 类型C：(1^±∞, 0^0 或∞^0) 291
14.1.6 洛必达法则类型的总结 293
14.2 关于极限的总结 294
第15章 积分 297
15.1 求和符号 297
15.1.1 一个有用的求和 300
15.1.2 伸缩求和法 301
15.2 位移和面积 304
15.2.1 三个简单的例子 304
15.2.2 一段更常规的旅行 306
15.2.3 有向面积 308
15.2.4 连续的速度 309
15.2.5 两个特别的估算 312
第16章 定积分 314
16.1 基本思想 314
16.2 定积分的定义 318
16.3 定积分的性质 322
16.4 求面积 326
16.4.1 求通常的面积 327
16.4.2 求解两条曲线之间的面积 329
16.4.3 求曲线与y 轴所围成的面积 331
16.5 估算积分 334
16.6 积分的平均值和中值定理 337
16.7 不可积的函数 340
第17章 微积分基本定理 342
17.1 用其他函数的积分来表示的函数 342
17.2 微积分的第一基本定理 345
17.3 微积分的第二基本定理 349
17.4 不定积分 350
17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理 352
17.5.1 变形1：变量是积分下限 353
17.5.2 变形2：积分上限是一个函数 353
17.5.3 变形3：积分上下限都为函数 355
17.5.4 变形4：极限伪装成导数 356
17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理 357
17.6.1 计算不定积分 357
17.6.2 计算定积分 360
17.6.3 面积和绝对值 362
17.7 技术要点 365
17.8 微积分第一基本定理的证明 366
第18章 积分的方法I 368
18.1 换元法 368
18.1.1 换元法和定积分 371
18.1.2 如何换元 374
18.1.3 换元法的理论解释 376
18.2 分部积分法 377
18.3 部分分式 382
18.3.1 部分分式的代数运算 382
18.3.2 对每一部分积分 386
18.3.3 方法和一个完整的例子 388
第19章 积分的方法II 394
19.1 应用三角恒等式的积分 394
19.2 关于三角函数的幂的积分 397
19.2.1 sin或cos的幂 397
19.2.2 tan的幂 399
19.2.3 sec的幂 400
19.2.4 cot的幂 402
19.2.5 csc的幂 403
19.2.6 约化公式 403
19.3 关于三角换元法的积分 405
19.3.1 类型1：√(a^2-x^2) 405
19.3.2 类型2：√(x^2+a^2) 407
19.3.3 类型3：√(x^2-a^2) 408
19.3.4 配方和三角换元法 409
19.3.5 关于三角换元法的总结 410
19.3.6 平方根的方法和三角换元法 410
19.4 积分技巧总结 412
第20章 反常积分：基本概念 414
20.1 收敛和发散 414
20.1.1 反常积分的一些例子 416
20.1.2 其他破裂点 418
20.2 关于无穷区间上的积分 419
20.3 比较判别法(理论) 421
20.4 极限比较判别法(理论) 423
20.4.1 函数互为渐近线 423
20.4.2 关于判别法的陈述 425
20.5 p判别法(理论) 426
20.6 绝对收敛判别法 428
第21章 反常积分：如何解题 431
21.1 如何开始 431
21.1.1 拆分积分 431
21.1.2 如何处理负函数值 432
21.2 积分判别法总结 434
21.3 常见函数在∞和-∞附近的表现 435
21.3.1 多项式和多项式型函数在∞和-∞附近的表现 436
21.3.2 三角函数在∞和-∞附近的表现 438
21.3.3 指数在∞和-∞附近的表现 440
21.3.4 对数在∞附近的表现 443
21.4 常见函数在0附近的表现 447
21.4.1 多项式和多项式型函数在0附近的表现 447
21.4.2 三角函数在0附近的表现 448
21.4.3 指数函数在0附近的表现 450
21.4.4 对数函数在0附近的表现 451
21.4.5 更一般的函数在0附近的表现 452
21.5 如何应对不在0或∞处的瑕点 453
第22章 数列和级数：基本概念 455
22.1 数列的收敛和发散 455
22.1.1 数列和函数的联系 456
22.1.2 两个重要数列 457
22.2 级数的收敛与发散 459
22.3 第n项判别法(理论) 463
22.4 无穷级数和反常积分的性质 464
22.4.1 比较判别法(理论) 464
22.4.2 极限比较判别法(理论) 465
22.4.3 ρ判别法(理论) 465
22.4.4 绝对收敛判别法 466
22.5 级数的新判别法 468
22.5.1 比式判别法(理论) 468
22.5.2 根式判别法(理论) 470
22.5.3 积分判别法(理论) 471
22.5.4 交错级数判别法(理论) 474
第23章 求解级数问题 476
23.1 求几何级数的值 476
23.2 应用第n项判别法 478
23.3 应用比式判别法 478
23.4 应用根式判别法 482
23.5 应用积分判别法 483
23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法 484
23.7 应对含负项的级数 489
第24章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 493
24.1 近似值和泰勒多项式 493
24.1.1 重访线性化 493
24.1.2 二次近似 494
24.1.3 高阶近似 495
24.1.4 泰勒定理 496
24.2 幂级数和泰勒级数 499
24.2.1 一般幂级数 500
24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数 502
24.2.3 泰勒级数的收敛性 502
24.3 一个有用的极限 506
第25章 求解估算问题 508
25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结 508
25.2 求泰勒多项式与泰勒级数 509
25.3 用误差项估算问题 512
25.3.1 第一个例子 513
25.3.2 第二个例子 515
25.3.3 第三个例子 516
25.3.4 第四个例子 517
25.3.5 第五个例子 518
25.3.6 误差项估算的一般方法 520
25.4 误差估算的另一种方法 520
第26章 泰勒级数和幂级数：如何解题 523
26.1 幂级数的收敛性 523
26.1.1 收敛半径 523
26.1.2 求收敛半径和收敛区域 525
26.2 合成新的泰勒级数 529
26.2.1 代换和泰勒级数 530
26.2.2 泰勒级数求导 532
26.2.3 泰勒级数求积分 533
26.2.4 泰勒级数相加和相减 535
26.2.5 泰勒级数相乘 536
26.2.6 泰勒级数相除 537
26.3 利用幂级数和泰勒级数求导 538
26.4 利用麦克劳林级数求极限 540
第27章 参数方程和极坐标 544
27.1 参数方程 544
27.2 极坐标 549
27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换 550
27.2.2 极坐标系中画曲线 551
27.2.3 求极坐标曲线的切线 555
27.2.4 求极坐标曲线围成的面积 556
第28章 复数 559
28.1 基础 559
28.2 复平面 562
28.3 复数的高次幂 565
28.4 解z^n=w 566
28.5 解e^z=w 571
28.6 一些三角级数 573
28.7 欧拉恒等式和幂级数 575
第29章 体积、弧长和表面积 577
29.1 旋转体的体积 577
29.1.1 圆盘法 578
29.1.2 壳法 579
29.1.3 总结和变式 581
29.1.4 变式1：区域在曲线和y轴之间 582
29.1.5 变式2：两曲线间的区域 583
29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转 586
29.2 一般立体体积 588
29.3 弧长 592
29.4 旋转体的表面积 595
第30章 微分方程 599
30.1 微分方程导论 599
30.2 可分离变量的一阶微分方程 600
30.3 一阶线性方程 602
30.4 常系数微分方程 606
30.4.1 解一阶齐次方程 607
30.4.2 解二阶齐次方程 607
30.4.3 为什么特征二次方程适用 608
30.4.4 非齐次方程和特解 609
30.4.5 求特解 610
30.4.6 求特解的例子 611
30.4.7 解决yP和yH间的冲突 613
30.4.8 IVP 614
30.5 微分方程建模 616
附录A 极限及其证明 619
A.1 极限的正式定义 619
A.2 由原极限产生新极限 623
A.3 极限的其他情形 627
A.4 连续与极限 632
A.5 再谈指数函数和对数函数 637
A.6 微分与极限 639
A.7 泰勒近似定理的证明 648
附录B 估算积分 650
B.1 使用条纹估算积分 650
B.2 梯形法则 653
B.3 辛普森法则 655
B.4 近似的误差 657
符号列表 661
索引 664
封底 670