每日一练：地下城游戏

题目要求：

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数 ，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0 ），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

**注意：**任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例 1：

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输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：

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输入：dungeon = [[0]]
输出：1

提示：

m == dungeon.length
n == dungeon[i].length
1 <= m, n <= 200
-1000 <= dungeon[i][j] <= 1000

解法-1 动态规划 O(N)

这道题需要从后往前分析，由于血包的存在，当前位置走到终点的最低血量不仅会受到前面两个位置的影响，还会受到后面位置的影响。

从后往前分析：

dp表对应位置存放骑士从该位置走到终点需要的最低血量；

如果需要填dp $i$ $j$ ，我们先需要保证在{i，j}的事件完成后满足：dp $i$ $j$ +dungeon $i$ $j$ >= 1;

然后我们还需要骑士还能走到下一格，则需要满足 dp $i$ $j$ +dungeon $i$ $j$ >= min(dp $i-1$ $j$ ,dp $i$ $j-1$ )，因为求最低血量，所以：

dp $i$ $j$ = min(dp $i-1$ $j$ ,dp $i$ $j-1$ )-dungeon $i$ $j$ ；

还有一个细节就是如果 dungeon $i$ $j$ 是一个血包，那么需要的最低血量就可能变成负数，但是骑士从前一格走到下一格不可能是负数的血量，最少都是1点血，所以最后还要纠正：

dp $i$ $j$ = max(1,dp $i$ $j$ )；

初始化细节：

dp表多开一行、一列，解决边界问题；

dp表终点的右、下格初始化成1，表示骑士走到终点的血量至少是1；

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        int m = dungeon.size();
        int n = dungeon[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[m][n-1] = dp[m-1][n] = 1;

        for(int i = m-1;i >= 0;i--)
        {
            for(int j = n-1;j >= 0;j--)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
                dp[i][j] = max(1,dp[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
};

优化-使用滑动数组减少内存开销：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        int m = dungeon.size();
        int n = dungeon[0].size();
        vector<int> dp(n,INT_MAX);
        dp[n-1] = 1;
        int a,b;
        for(int i = m-1;i >= 0;i--)
        {
            b = INT_MAX;
            for(int j = n-1;j >= 0;j--)
            {
                a = min(b,dp[j])-dungeon[i][j];
                a = max(1,a);
                b = dp[j] = a;
            }
        }
        return a;
    }
};