【动态规划-最长公共子序列（LCS）】【hard】力扣1458. 两个子序列的最大点积

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的非空子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说， $2,3,5$ 是 $1,2,3,4,5$ 的一个子序列而 $1,5,3$ 不是。

示例 1：

输入：nums1 = $2,1,-2,5$ , nums2 = $3,0,-6$

输出：18

解释：从 nums1 中得到子序列 $2,-2$ ，从 nums2 中得到子序列 $3,-6$ 。

它们的点积为 (23 + (-2)(-6)) = 18 。

示例 2：

输入：nums1 = $3,-2$ , nums2 = $2,-6,7$

输出：21

解释：从 nums1 中得到子序列 $3$ ，从 nums2 中得到子序列 $7$ 。

它们的点积为 (3*7) = 21 。

示例 3：

输入：nums1 = $-1,-1$ , nums2 = $1,1$

输出：-1

解释：从 nums1 中得到子序列 $-1$ ，从 nums2 中得到子序列 $1$ 。

它们的点积为 -1 。

提示：

1 <= nums1.length, nums2.length <= 500

-1000 <= nums1 $i$ , nums2 $i$ <= 100

动态规划

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxDotProduct(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        // 初始化 dp 数组为一个极小的值 INT_MIN，因为点积可能为负数
        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, INT_MIN));

        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                int product = nums1[i-1] * nums2[j-1];
                dp[i][j] = max({
                    product,                 // 只选择当前元素对
                    dp[i-1][j],              // 不选择 nums1[i-1]
                    dp[i][j-1],              // 不选择 nums2[j-1]
                    dp[i-1][j-1] == INT_MIN ? product : dp[i-1][j-1] + product // 检查溢出
                });
            }
        }

        return dp[m][n];
    }
};

这道题是LCS的变形，dp $i$ $j$ 表示使用 nums1 的前 i 个元素和 nums2 的前 j 个元素时，能够得到的最大点积。

在计算dp $i$ $j$ 的时候有四种情况：

一种是我们只选择product这个元素对，

一种是不选择当前元素对，由dp $i-1$ $j$ 的状态转移而来。

一种是不选择当前元素对，由dp $i$ $j-1$ 的状态转移而来。

一种是选择当前元素对，并且对dp $i-1$ $j-1$ 检查是否是INT_MIN情况，防止出现k为负数时的溢出。然后由之前的状态dp $i-1$ $j-1$ 加上该元素对。

由于我们要求的是最大点积，那么就从这四种情况中选取最大的情况。

最后返回dp $m$ $n$ 。