文章目录
- [第九章 动态规划 part05](#第九章 动态规划 part05)
-
- 完全背包
- [518. 零钱兑换 II](#518. 零钱兑换 II)
- [377. 组合总和 IV](#377. 组合总和 IV)
- [70. 爬楼梯（进阶）](#70. 爬楼梯（进阶）)
第九章 动态规划 part05
力扣上没有纯粹的完全背包的题目，我在卡码网上制作了题目，大家可以去做一做，题目链接在下面的文章链接里。
后面的两道题目，都是完全背包的应用，大家可以做做感受一下。
完全背包
- 视频讲解：B站链接
- 题解链接：程序员Carl - 完全背包
01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
cpp
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
另外要遍历的顺序是可以颠倒的，一个是行遍历，一个是列遍历，都是根据之前的状态获得现在的状态。学会两种思路即可。
518. 零钱兑换 II
- 视频讲解：B站链接
- 题解链接：程序员Carl - 零钱兑换 II
最开始写的代码时： dp[j] = max(dp[j], dp[j - coin] + 1);结果发现不是的，理所当然的认为每次多了一种方法，实际上是多了一个硬币，方法可能不止一个。dp[j] 应该表示用前面的硬币可以组成金额 j 的组合数，而不是最大硬币数。我们需要通过累加组合数来更新 dp[j] 的值，而不是通过 max 函数比较。
cpp
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int coin : coins) { // 遍历零钱
for (int j = coin; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coin] ;
// 组合数累加
}
}
return dp[amount];
}
};如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
377. 组合总和 IV
- 视频讲解：B站链接
- 题解链接：程序员Carl - 组合总和 IV
最开始我写的状态转移：dp[j] = max(dp[j], dp[j - coin] + 1);结果发现这是求最大硬币数，而不是方法，
cpp
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int j = 1; j <= target; j++) {
for (int num : nums) {
if (j >= num ) {
dp[j] += dp[j - num]; // 累加排列数
}
}
}
return dp[target];
}
};稍微绕了下，注意是排列数，不是组合数，我也被绕了下还是很容易写出方法的。
70. 爬楼梯（进阶）
这道题目爬楼梯之前我们做过，这次再用完全背包的思路来分析一遍。
- 题解链接：程序员Carl - 爬楼梯完全背包版本
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int n, m;
while (cin >> n >> m) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
}
}
cout << dp[n] << endl;
}
}这题和上面的排列数类似，不需要过多介绍。