leetcode 刷题day37动态规划Part06背包问题（ 322. 零钱兑换、279.完全平方数、139.单词拆分、多重背包）

322. 零钱兑换

思路：每种硬币的数量是无限的，是典型的完全背包问题。但是题目要求等于目标值的最小硬币个数。所以这里需要对动规五部曲进行分析。

动规五部曲：

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2、确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]；

dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3、dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;考虑到递推公式取最小值，dp[j]下标非0的元素都是应该是最大值。

4、确定遍历顺序

本题求钱币最小个数，钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。所以本题并不强调集合是组合还是排列。两种内外层循环都是可以的。这里采用coins放在外循环，target在内循环的方式。

本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

5、举例推导dp数组

代码如下：

java 复制代码

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max=Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp=new int[amount+1];
        dp[0]=0;
        for(int j=1;j<=amount;j++){
            dp[j]=max;
        }
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                 //只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
                if (dp[j - coins[i]] != max) {
                    dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
                }
            }
        }
        if(dp[amount]==max) return -1;
        else return dp[amount];
    }
}

279.完全平方数

思路：这个题和上一题相同，都是求最小个数。

dp[j]就是满足和为j的平方数最小个数；

递推公式：dp[j]=min(dp[j];dp[j-i*i]+1)；

初始化：dp[0]=0，因为平方数是从1开始的；

遍历顺序：内外循环都可以，选物体在外面，背包容量在里面；数字可以重复选取，完全背包，内循环正序。

代码如下：

java 复制代码

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp=new int[n+1];
        int max=Integer.MAX_VALUE;
        for(int j=0;j<=n;j++){
            dp[j]=max;
        }
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++){
            for(int j=i*i;j<=n;j++){
                dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-i*i]+1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

139.单词拆分

思路：字典可以重复使用，所以是完全背包问题。

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

2、确定递推公式

如果dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true（j < i ）。

所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。

3、dp数组如何初始化

dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true，那么dp[0]就是递推的根基，dp[0]一定要为true，否则递推下去后面都都是false了。

下标非0的dp[i]初始化为false，只要没有被覆盖说明都是不可拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

4、确定遍历顺序

题目中说是拆分为一个或多个在字典中出现的单词，所以这是完全背包。

本题是求排列数，所以先遍历背包，再遍历物品。

代码如下：

java 复制代码

class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        boolean[] dp=new boolean[s.length()+1];
        dp[0]=true;
        for(int j=1;j<=s.length();j++){
            dp[j]=false;
        }
        for(int j=1;j<=s.length();j++){
            for(String word:wordDict){
                int len=word.length();
                if(j>=len && dp[j-len] && word.equals(s.substring(j-len,j))){
                    dp[j]=true;
                }
            }
        }
        return dp[s.length()];
    }
}

多重背包

本质上和01背包相同，限制了每个物品可以用的数量，只需要多加一层循环限制物品数量即可。

java 复制代码

for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
                //遍历每种物品的个数
                for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
                }
            }
        }