10.12Python数学基础-矩阵（下）

9.矩阵的转置

矩阵的转置（Transpose）是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说，如果 A 是一个

m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。

定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 aij，那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 aji。

例子

假设有一个矩阵 A：
A = ( 1 2 3 4 5 6 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix} A=(142536)

这个矩阵是一个 2×3 的矩阵。它的转置矩阵 A^T 是一个 3×2 的矩阵，计算如下：
A T = ( 1 4 2 5 3 6 ) A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5\\3 & 6 \end{pmatrix} AT= 123456
性质

矩阵转置具有以下性质：

• (A^T)^T = A：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
• (A + B)^T = A^T + B^T：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
• (kA)^T = kA^T：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
• (AB)^T = B^T A^T ：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反。

特殊矩阵

• 对称矩阵 ：如果一个矩阵 A 满足 A^T=A，那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。

• 反对称矩阵 ：如果一个矩阵 A 满足 A^T=−A，那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零，且关于主对角线对称的元素互为相反数。

  如：
  A = ( 0 1 3 − 1 0 4 − 3 − 4 0 ) A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ -3 & -4 & 0\end{pmatrix} A= 0−1−310−4340

  A T = ( 0 − 1 − 3 1 0 − 4 3 4 0 ) = − A A^{T}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 4 & 0\end{pmatrix}=-A AT= 013−104−3−40 =−A

  反对称矩阵：
  a i j = − a j i a_{ij}=-a_{ji} aij=−aji

  所以：
  a i i = − a i i = > 2 a i i = 0 = > a i i = 0 a_{ii}=-a_{ii}=>2a_{ii}=0=>a_{ii}=0 aii=−aii=>2aii=0=>aii=0

  得出主对角线元素必须为零。

对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。

矩阵A和B为同阶对称矩阵，AB对称的充要条件为AB=BA

证明：

AB对称则
( A B ) T = A B (AB)^{T}=AB (AB)T=AB

同时
( A B ) T = B T A T (AB)^{T}=B^{T}A^{T} (AB)T=BTAT

由于A和B是对称矩阵，则
( A B ) T = B T A T = B A (AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA (AB)T=BTAT=BA

所以
A B = B A AB=BA AB=BA
思考：

A为反对称矩阵，则A^k为？

证明：
( A k ) T = ( A × A . . . × A ) T = A T × A T . . . × A T = ( − A ) × ( − A ) . . . × ( − A ) = ( − 1 ) k A k (A^{k})^{T}=(A\times A ...\times A)^{T}=A^{T}\times A^{T}...\times A^{T}=(-A)\times (-A)...\times (-A)=(-1)^{k}A^{k} (Ak)T=(A×A...×A)T=AT×AT...×AT=(−A)×(−A)...×(−A)=(−1)kAk

如果k为偶数，则
( A k ) T = A k (A^{k})^{T}=A^{k} (Ak)T=Ak

此时A^k为对称矩阵

如果k为奇数，则
( A k ) T = − A k (A^{k})^{T}=-A^{k} (Ak)T=−Ak

此时A^k为反对称矩阵

10.方阵的行列式

要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。

性质：A为n阶的方阵
∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^{T}|=|A| ∣AT∣=∣A∣

∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ |kA|=k^{n}|A| ∣kA∣=kn∣A∣

∣ − A ∣ = ( − 1 ) n ∣ A ∣ |-A|=(-1)^{n}|A| ∣−A∣=(−1)n∣A∣

∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣

∣ A m ∣ = ∣ A ∣ m |A^{m}|=|A|^{m} ∣Am∣=∣A∣m

∣ E ∣ = 1 |E|=1 ∣E∣=1

例子

1.有矩阵A
A = ( 1 2 0 0 3 0 − 1 4 5 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5\end{pmatrix} A= 10−1234005

求|2A|和|A|A

解：
d e t ( A ) = ∣ 1 2 0 0 3 0 − 1 4 5 ∣ = 3 × ( − 1 ) 2 + 2 ∣ 1 0 − 1 5 ∣ = 15 det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5\end{vmatrix}=3\times (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 0\\-1 & 5 \end{vmatrix}=15 det(A)= 10−1234005 =3×(−1)2+2 1−105 =15

则
d e t ( 2 A ) = 2 3 d e t ( A ) = 120 det(2A)=2^{3}det(A)=120 det(2A)=23det(A)=120

d e t ( A ) A = 15 A = 15 ( 1 2 0 0 3 0 − 1 4 5 ) = ( 15 30 0 0 45 0 − 15 60 75 ) det(A)A=15A=15\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 & 30 & 0 \\ 0 & 45 & 0 \\ -15 & 60 & 75\end{pmatrix} det(A)A=15A=15 10−1234005 = 150−153045600075

2.A为n阶方阵，|A|=3，求
∣ ∣ A ∣ A T ∣ = ? ||A|A^{T}|=? ∣∣A∣AT∣=?

解：
∣ ∣ A ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ n ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ n + 1 = 3 n + 1 ||A|A^{T}|=|A|^{n}|A^{T}|=|A|^{n+1}=3^{n+1} ∣∣A∣AT∣=∣A∣n∣AT∣=∣A∣n+1=3n+1

11.伴随矩阵

设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji，即：
( A ∗ ) i j = C j i = ( − 1 ) i + j M j i (A^{*}){ij}=C^{ji}=(−1)^{i+j}M{ji} (A∗)ij=Cji=(−1)i+jMji

其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。

简单理解：

1.先按行求出每个元素的代数余子式

2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。

例如：
A = ( 1 1 1 2 1 3 1 1 4 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4\end{pmatrix} A= 121111134

求A的伴随矩阵A*

解：

按行求出每个元素的代数余子式：
C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 1 3 1 4 ∣ = 1 , C 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∣ 2 3 1 4 ∣ = − 5 , C 13 = ( − 1 ) 1 + 3 ∣ 2 1 1 1 ∣ = 1 C 21 = − 3 , C 22 = 3 , C 23 = 0 C 31 = 2 , C 32 = − 1 , C 33 = − 1 C_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}=1,C_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}=-5,C_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\\ C_{21}=-3,C_{22}=3,C_{23}=0\\ C_{31}=2,C_{32}=-1,C_{33}=-1 C11=(−1)1+1 1134 =1,C12=(−1)1+2 2134 =−5,C13=(−1)1+3 2111 =1C21=−3,C22=3,C23=0C31=2,C32=−1,C33=−1

然后将每行元素的代数余子式按列组成矩阵：
C = ( 1 − 3 2 − 5 3 − 1 1 0 − 1 ) C=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix} C= 1−51−3302−1−1
性质：
A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^{*}=A^{*}A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E

证明：
( a 11 C 11 + a 12 C 12 + . . . + a 1 n C 1 n 0 . . . 0 0 a 21 C 21 + a 22 C 22 + . . . + a 2 n C 2 n . . . 0 ⋮ 0 0 . . . a n 1 C n 1 + a n 2 C n 2 + . . . + a n n C n n ) = ( ∣ A ∣ 0 . . . 0 0 ∣ A ∣ . . . 0 ⋮ 0 0 . . . ∣ A ∣ ) = ∣ A ∣ E \begin{pmatrix} a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+...+a_{2n}C_{2n} & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{n1}C_{n1}+a_{n2}C_{n2}+...+a_{nn}C_{nn}\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}|A| & 0 & ... & 0 \\ 0 & |A| & ... & 0 \\& \vdots \\ 0 & 0 & ... & |A| \end{pmatrix}=|A|E a11C11+a12C12+...+a1nC1n000a21C21+a22C22+...+a2nC2n⋮0.........00an1Cn1+an2Cn2+...+annCnn = ∣A∣000∣A∣⋮0.........00∣A∣ =∣A∣E
性质2：
∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^{*}|=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1

证明：
∣ A A ∗ ∣ = ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ = ∣ A ∣ n ∣ E ∣ = ∣ A ∣ n |AA^{*}|=|A||A^{*}|=||A|E|=|A|^{n}|E|=|A|^{n} ∣AA∗∣=∣A∣∣A∗∣=∣∣A∣E∣=∣A∣n∣E∣=∣A∣n

所以
∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n = > ∣ A ∣ ( ∣ A ∣ n − 1 − ∣ A ∗ ∣ ) = 0 |A||A^{*}|=|A|^{n}=>|A|(|A|^{n-1}-|A^{*}|)=0 ∣A∣∣A∗∣=∣A∣n=>∣A∣(∣A∣n−1−∣A∗∣)=0

得出
∣ A ∣ = 0 或 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A|=0 或 |A^{*}|=|A|^{n-1} ∣A∣=0或∣A∗∣=∣A∣n−1

如果|A|=0，则A中两行元素相等或成比例，或一行元素为0，则其代数余子式必有一行元素为0，所以
∣ A ∗ ∣ = 0 = 0 n − 1 = ∣ A ∣ n − 1 |A^{*}|=0=0^{n-1}=|A|^{n-1} ∣A∗∣=0=0n−1=∣A∣n−1

所以等式成立。

12.逆矩阵

对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB=BA=E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作
A − 1 A^{−1} A−1
逆矩阵的存在条件

一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det⁡(A)≠0。如果 det⁡(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。

思考：如果A可逆，则可逆矩阵是唯一的

证明：

假设可逆矩阵不是唯一的，存在两个可逆矩阵B1和B2，则由可逆矩阵定义可知：
A B 1 = B 1 A = E A B 2 = B 2 A = E AB_{1}=B_{1}A=E\\ AB_{2}=B_{2}A=E AB1=B1A=EAB2=B2A=E

则：
B 1 = B 1 E = B 1 ( A B 2 ) = ( B 1 A ) B 2 = E B 2 = B 2 B_{1}=B_{1}E=B_{1}(AB_{2})=(B_{1}A)B_{2}=EB_{2}=B_{2} B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2

所以可逆矩阵唯一。

性质：

1.n阶方阵A可逆的充要条件为
∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣=0

且当A可逆时，
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*} A−1=∣A∣1A∗

证明：

充分性：

因为
∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣=0

则
A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E = > A ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) = ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) A = E AA^{*}=A^{*}A=|A|E=>A(\dfrac{1}{|A|}A^{*})=(\dfrac{1}{|A|}A^{*})A=E AA∗=A∗A=∣A∣E=>A(∣A∣1A∗)=(∣A∣1A∗)A=E

所以A可逆，并且
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*} A−1=∣A∣1A∗

必要性：

因为A可逆，则
A B = B A = E = > ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ E ∣ = 1 AB=BA=E=>|AB|=|A||B|=|E|=1 AB=BA=E=>∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣E∣=1

所以
∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣=0

例子：

有矩阵A：
A = ( 1 0 1 2 1 0 − 3 2 − 5 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{pmatrix} A= 12−301210−5

问矩阵A是否可逆，如果可逆，求可逆矩阵

解：
∣ A ∣ = ∣ 1 0 1 2 1 0 − 3 2 − 5 ∣ = − 5 + 4 + 3 = 2 ≠ 0 |A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{vmatrix}=-5+4+3=2\neq 0 ∣A∣= 12−301210−5 =−5+4+3=2=0

所以A可逆
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 2 ( − 5 2 − 1 10 − 2 2 7 − 2 1 ) A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -5 & 2 & -1 \\ 10 & -2 & 2 \\ 7 & -2 & 1\end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=21 −51072−2−2−121

2.设A、B 和 C 是 n×n 的可逆矩阵，那么它们的乘积 ABC的逆矩阵为：
( A B C ) − 1 = C − 1 B − 1 A − 1 (ABC)^{−1}=C^{−1}B^{−1}A^{−1} (ABC)−1=C−1B−1A−1

13.初等变换

初等变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。

初等行变换：

• 交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置

  如：矩阵第二行和第三行交换
  ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) − > ( 1 2 3 7 8 9 4 5 6 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} 147258369 −> 174285396

• 某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k

  如：第二行乘以非零整数k
  ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) − > ( 1 2 3 4 k 5 k 6 k 7 8 9 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix} 147258369 −> 14k725k836k9

• 某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍

  如：矩阵第一行乘以-4加到第二行
  ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) − > ( 1 2 3 0 − 3 − 6 7 8 9 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix} 147258369 −> 1072−383−69

初等列变换

• 交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
• 某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
• 某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍

14.矩阵的标准形

常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。

14.1 行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有以下特征：

• 非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
• 主元：每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
• 主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。

例如，以下矩阵是一个行阶梯形矩阵：
( 1 2 3 0 5 6 0 0 9 ) , ( 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 9 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7\\ 0 & 0 &0 & 9\end{pmatrix} 100250369 , 100250360479

简单理解为：用折线表示，竖线只过一个数，横线可过多个数

下边的矩阵不是行阶梯形矩阵

14.2 简化行阶梯形矩阵

简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式，具有以下特征：

• 非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
• 主元为 1：每一行的第一个非零元素（主元）为 1。
• 主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。
• 主元上方元素为零：每一行的主元上方元素都为零。

即：

1.是行阶梯形矩阵；2.非0行的首非0元是1；3.非0行的首非0元所在列的其它元素都是0

红色折线表示矩阵为行阶梯形矩阵；蓝色圆圈表示首非0元是1；黄色竖线表示首非0元所在列的其它元素都是0

例子：

有矩阵A
( 2 − 1 − 1 1 2 1 1 − 2 1 4 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 ) \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix} 2143−11−66−1−22−911−272449

求该矩阵的行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵

解：

1.第1行和第2行交换，得到
( 1 1 − 2 1 4 2 − 1 − 1 1 2 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix} 12431−1−66−2−12−911−274249

2.第1行乘以-2加到第2行，第1行乘以-4加到第3行，第1行乘以-3加到第4行，得到
( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 − 10 10 − 6 − 12 0 3 − 3 4 − 3 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & -10 & 10 & -6 & -12\\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3\end{pmatrix} 10001−3−103−2310−31−1−644−6−12−3

3.第2行乘以-10/3加到第3行，第2行加到第4行，得到
( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 0 0 − 8 3 8 0 0 0 3 − 9 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -\dfrac{8}{3} & 8\\ 0 & 0 & 0 & 3 & -9\end{pmatrix} 10001−300−23001−1−3834−68−9

4.第3三行乘以3/8，得到
( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 0 0 − 1 3 0 0 0 3 − 9 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 3 & -9\end{pmatrix} 10001−300−23001−1−134−63−9

5.第3行乘以3加到第4行，得到一个阶梯形矩阵
( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 0 0 − 1 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} 10001−300−23001−1−104−630

6.第三行乘以-1，得到
( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} 10001−300−23001−1104−6−30

7.第3行乘以-1加到第1行，第3行加到第2行
( 1 1 − 2 0 7 0 − 3 3 0 − 9 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 & 7\\ 0 & -3 & 3 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} 10001−300−230000107−9−30

8.第2行乘以1/3加到第1行，得到
( 1 0 − 1 0 4 0 − 3 3 0 − 9 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & -3 & 3 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} 10000−300−130000104−9−30

9.第2行乘以-1/3，得到一个行简化阶梯形矩阵
( 1 0 − 1 0 4 0 1 − 1 0 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} 10000100−1−100001043−30

思考：行阶梯形矩阵是唯一的吗？行简化阶梯形矩阵是唯一的吗？

行阶梯形矩阵不是唯一的，上边例子中第5、6、7步得到的矩阵都是行阶梯形矩阵

如果只做初等行变换，行简化阶梯形矩阵是唯一的，因为不能再简化了

15.初等矩阵

初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等行变换或初等列变换得到的矩阵。

初等矩阵是由单位矩阵 II 通过以下三种初等行变换或初等列变换得到的矩阵：

• 交换两行（列）：将单位矩阵的第 i 行和第 j 行（列）交换位置。
• 某一行（列）乘以非零常数 ：将单位矩阵的第 i 行（列）乘以一个非零常数k。
• 某一行（列）加上另一行（列）的倍数：将单位矩阵的第 i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍。

根据初等变换的类型，初等矩阵可以分为以下三种：

1. 交换两行（列）的初等矩阵

交换单位矩阵的第 i 行和第 j 行（列）得到的初等矩阵记作 Eij。例如，交换单位矩阵的第 1 行和第 2 行得到的初等矩阵为：
E 12 = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} E12= 010100001
2. 某一行（列）乘以非零常数的初等矩阵

将单位矩阵的第 i 行（列）乘以一个非零常数 k 得到的初等矩阵记作 Ei(k)。例如，将单位矩阵的第 2 行乘以 3 得到的初等矩阵为：
E 2 ( 3 ) = ( 1 0 0 0 3 0 0 0 1 ) E_{2(3)}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} E2(3)= 100030001
3. 某一行（列）加上另一行（列）的倍数的初等矩阵

将单位矩阵的第i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍得到的初等矩阵记作 Eij(k)。例如，将单位矩阵的第 2 行加上第 1 行的 2 倍得到的初等矩阵为：
E 21 ( 2 ) = ( 1 0 0 2 1 0 0 0 1 ) E_{21(2)}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} E21(2)= 120010001

将单位矩阵的第 2 列加上第 1 列的 2 倍得到的初等矩阵为：
E 21 ( 2 ) = ( 1 2 0 0 1 0 0 0 1 ) E_{21(2)}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} E21(2)= 100210001
初等矩阵的性质

初等矩阵具有以下重要性质：

• 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵：

  • 交换两行（列）的初等矩阵的逆矩阵是它本身，即
    ( E i j ) − 1 = E i j (E_{ij})^{−1}=E_{ij} (Eij)−1=Eij
    例如，单位矩阵A：
    A = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} A= 100010001
    交换第1行和第2行后的初等矩阵为
    B = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} B= 010100001
    B的行列式
    ∣ B ∣ = − 1 |B|=-1 ∣B∣=−1
    B的伴随矩阵
    B ∗ = ( 0 − 1 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) B^{*}=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix} B∗= 0−10−10000−1
    B的逆矩阵
    B − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = ( − 1 ) ( 0 − 1 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) = B B^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^{*}=(-1)\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=B B−1=∣A∣1A∗=(−1) 0−10−10000−1 = 010100001 =B

• 某一行（列）乘以非零常数的初等矩阵的逆矩阵是将该行（列）乘以 1/k，即
  ( E i ( k ) ) − 1 = E i ( 1 k ) (E_{i(k)})^{−1}=E_{i(\dfrac{1}{k})} (Ei(k))−1=Ei(k1)

  验证逻辑同上，略

• 某一行（列）加上另一行（列）的倍数的初等矩阵的逆矩阵是将该行（列）减去另一行（列）的 k 倍，即
  ( E i j ( k ) ) − 1 = E i j ( − k ) (E_{ij(k)})^{−1}=E_{ij(−k)} (Eij(k))−1=Eij(−k)

  验证逻辑同上，略

• 初等矩阵的行列式：

  • 交换两行（列）的初等矩阵的行列式为 -1。
  • 某一行（列）乘以非零常数的初等矩阵的行列式为 k。
  • 某一行（列）加上另一行（列）的倍数的初等矩阵的行列式为 1。

对矩阵A做一次行变换，相当于用同种初等矩阵左乘A

假设有矩阵A，交换第1行和第2行
( 1 2 3 a b c 1 1 0 ) − > ( a b c 1 2 3 1 1 0 ) \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\a & b & c\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}a & b & c\\1 & 2 & 3\\1 & 1 & 0\end{pmatrix} 1a12b13c0 −> a11b21c30

等同于交换第1行和第2行的初等矩阵左乘矩阵A
( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 1 2 3 a b c 1 1 0 ) = ( a b c 1 2 3 1 1 0 ) ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 1 2 3 a b c 1 1 0 ) = ( a b c 1 2 3 1 1 0 ) \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\a & b & c\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b & c\\1 & 2 & 3\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\a & b & c\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b & c\\1 & 2 & 3\\1 & 1 & 0\end{pmatrix} 010100001 1a12b13c0 = a11b21c30 010100001 1a12b13c0 = a11b21c30
对矩阵A做一次列变换，相当于用同种初等矩阵右乘A

验证逻辑同行变换

上述两个结论将初等变换转换成了等式运算，更方便进行运算。

16.矩阵的秩

16.1 k阶子式

k阶子式是指从矩阵中选取 k 行和 k 列后形成的 k×k 子矩阵的行列式

矩阵 k 阶子式的计算方法

计算矩阵 A 的 k 阶子式的步骤如下：

1. 选取 k 行和 k 列 ：从矩阵 AA 中选取 k 行和 k 列，形成一个 k×k 的子矩阵。
2. 计算子矩阵的行列式：计算所选子矩阵的行列式，即为矩阵 A 的 k 阶子式。

例子：

假设矩阵A
A = ( 1 1 1 1 2 3 4 5 2 2 2 2 ) A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\2 & 3 & 4 & 5\\2 & 2 & 2 & 2\end{pmatrix} A= 122132142152

1阶子式：1，1，1，1

2阶子式：
∣ 1 1 2 3 ∣ = 1 , ∣ 1 1 3 4 ∣ = 1 , ∣ 1 1 4 5 ∣ = 1 , . . . \begin{vmatrix}1 & 1\\2 & 3\end{vmatrix}=1,\begin{vmatrix}1 & 1\\3 & 4\end{vmatrix}=1,\begin{vmatrix}1 & 1\\ 4 & 5\end{vmatrix}=1,... 1213 =1, 1314 =1, 1415 =1,...

3阶子式：
∣ 1 1 1 2 3 4 2 2 2 ∣ = 0 , ∣ 1 1 1 3 4 5 2 2 2 ∣ = 0 \begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\2 & 3 & 4\\2 & 2 & 2\end{vmatrix}=0,\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\3 & 4 & 5\\2 & 2 & 2\end{vmatrix}=0 122132142 =0, 132142152 =0

16.2 秩

矩阵的秩：非零子式的最高阶数，记作：r(A)

假设矩阵A
A = ( 1 1 1 1 2 3 4 5 2 2 2 2 ) A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\2 & 3 & 4 & 5\\2 & 2 & 2 & 2\end{pmatrix} A= 122132142152

求矩阵A的秩

由16.1节计算的k阶子式可知，非零的子式有1阶和2阶；由秩的定义可知，非零子式的最高阶为2，所以矩阵A的秩为2，即r(A)=5。

秩的计算方法

通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的数量即为矩阵的秩。初等行或列变换不改变矩阵的秩。步骤：

1.将矩阵进行初等变换为行阶梯形矩阵

2.非零行的行数即为矩阵的秩

例子：

假设矩阵A
A = ( 1 − 1 2 1 0 2 − 2 4 − 2 0 3 0 6 − 1 1 0 3 0 0 1 ) A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & 1 & 0\\2 & -2 & 4 & -2 & 0\\3 & 0 & 6 & -1 & 1\\0 & 3 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} A= 1230−1−20324601−2−100011

求A的秩

解：

第1行乘以-2加到第2行，第1行乘以-3加到第3行，得到
( 1 − 1 2 1 0 0 0 0 − 4 0 0 3 0 − 4 1 0 3 0 0 1 ) \begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & -4 & 0\\0 & 3 & 0 & -4 & 1\\0 & 3 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} 1000−103320001−4−400011

第2行与第3行交换，得到
( 1 − 1 2 1 0 0 3 0 − 4 1 0 0 0 − 4 0 0 3 0 0 1 ) \begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & 1 & 0\\0 & 3 & 0 & -4 & 1\\0 & 0 & 0 & -4 & 0\\0 & 3 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} 1000−130320001−4−400101

第2行乘以-1加到第4行，得到
( 1 − 1 2 1 0 0 3 0 − 4 1 0 0 0 − 4 0 0 0 0 4 0 ) \begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & 1 & 0\\0 & 3 & 0 & -4 & 1\\0 & 0 & 0 & -4 & 0\\0 & 0 & 0 & 4 & 0\end{pmatrix} 1000−130020001−4−440100

第3行加到第4行，得到行阶梯形矩阵
( 1 − 1 2 1 0 0 3 0 − 4 1 0 0 0 − 4 0 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & 1 & 0\\0 & 3 & 0 & -4 & 1\\0 & 0 & 0 & -4 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} 1000−130020001−4−400100

所以矩阵A的秩r(A)=3

练习：

假设矩阵A
A = ( k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k ) A=\begin{pmatrix}k & 1 & 1 & 1\\1 & k & 1 & 1\\1 & 1 & k & 1\\1 & 1 & 1 & k\end{pmatrix} A= k1111k1111k1111k

已知r(A)=3，求k的值

解：

由r(A)=3，而矩阵是4阶可知，|A|=0，所以
∣ A ∣ = ∣ k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k ∣ = ( k + 3 ) ∣ 1 0 0 0 1 k − 1 0 0 1 0 k − 1 0 1 0 0 k − 1 ∣ = ( k + 3 ) ( k − 1 ) 3 = 0 |A|=\begin{vmatrix}k & 1 & 1 & 1\\1 & k & 1 & 1\\1 & 1 & k & 1\\1 & 1 & 1 & k\end{vmatrix}=(k+3)\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & k-1 & 0 & 0\\1 & 0 & k-1 & 0\\1 & 0 & 0 & k-1\end{vmatrix}=(k+3)(k-1)^{3}=0 ∣A∣= k1111k1111k1111k =(k+3) 11110k−10000k−10000k−1 =(k+3)(k−1)3=0

所以 k=1或k=-3

如果k=1，带入矩阵
A = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) − > ( 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} A= 1111111111111111 −> 1000100010001000

此时，r(A)=1，因此k=1不是解，所以k=-3