一、基础定义及分类
1、随机变量
随机变量是一个从样本空间（所有可能结果的集合）到实数集的函数 。（随机变量的值可以是离散的，也可以是连续的。 ）
事件可以定义为随机变量取特定值的集合。
2、离散型随机变量
随机变量的取值是可数的，即有限个或可数无限个。取值之间有"间隔"，不是连续变化的。每个取值都有一个特定的概率，且所有取值的概率之和等于1。
概率质量函数（PMF）：对于所有的 x，有 P(X=x)≥0；所有可能取值的概率之和等于1。
例如：假设由5个黑球，3个白球，每次取一个球不放回，直到取到黑球为止，X为取到白球的数量，求取到黑球的概率。
解：列出渠道黑球可能（0白1黑、1白1黑、2白1黑、3白1黑），将白球数量列为X，则
P(X=0)= 5/8；P(X=1)= 3/8 * 5/7 =15/56；P(X=2)= 3/8 *2/7* 5/6=5/56；P(X=3)= 3/8 *2/7* 1/6* 5/5 =1/56
画出概率分布表：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P | 5/8 | 15/56 | 5/56 | 1/56 |
验证：5/8 + 15/56 + 5/56+ 1/56 =1
3、连续型随机变量
取值可以是某个区间内任意实数的随机变量。随机变量的取值是连续的，可以在一个或多个区间内取任意值。 取值是不可数的，即有无限多个可能的取值。每个取值区间都有一个特定的概率，且整个取值范围的概率密度函数积分等于1。在任意一点的概率都是0。在函数曲线上某个点的概率其实是取的该点附近值的大小。
概率密度函数 （PDF） ；对于一维实随机变量X，如果存在非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x，a b 存在 P(a<X
b)=
f(x) dx；对于所有的 x，有f(x)
0 ；整个取值范围的积分等于1，即
f(x) dx=1 。概率密度函数的积分其实就是求曲线在某个区间内的面积。
例如：假设密度函数 
，求k
解：根据函数列出 f(x)dx=
f(x)dx =
kx+1dx =
*
+x)
=2k+2=1 => k =-1/2
二、分布函数
1、定义
描述随机变量取值分布情况的函数，无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，都可以通过分布函数来描述其概率特性。分布函数通常指的是累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF），用 F(x) 表示。
2、使用方法
积分布函数（CDF） ；对于随机变量 X，其累积分布函数 F(x) 定义为随机变量 X 取值小于或等于 x 的概率： F(x)=P(X≤x) 。
随着 x 的增加，F(x) 是非减 的，即F(x1)≤F(x2)对于所有的 x1≤x2 成立 。 F(x)的值域在 0 到 1 之间 ，即 0≤F(x)≤1。任意点 x 都是右连续的。对于离散型随机变量，F(x) 在任意点 x 是右连续，对于连续型随机变量，F(x) 在任意点 x 是连续的。
常用公式： F(x) = P(X≤x) ； P(X≤a) = F(a) ； P(X>a) = 1-P(X≤a) = 1-F(a)； P(a<X≤b) = P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a)
例如离散型：假设概率分布表如下（求分布函数F(x) ）：
| X | -1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P | 1/2 | 1/3 | 1/6 |
根据x取值划分（，-1）、（-1，2），（2，3），（3，
）
则：F(x)=P(X≤-1)=0 ；F(x)=P(-1≤X<2)=1/2;F(x)=P(2≤X<3)=5/6 ; F(x)=P(3≤X<)=1
例如连续型：假设函数如图，求分布函数F(x)：
根据x取值划分（，0）、（0，2）、（2，
）
F(X)= f(x)dx =
-1/2 * x +1 dx = -1/4 *
+ x
3、常见分布
3.1离散型
3.1.1、0-1分布
伯努利分布 ：
3.1.2 几何分布
在独立重复的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数: P(X=k)= ⋅ p
3.1.3、二项分布
n 次伯努利试验中成功的次数，那么 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作 X∼B(n,p) ：P(X=k)=
3.1.4、泊松分布
固定时间或空间内事件发生次数的离散型概率分布。 适用于事件发生的概率较小且事件之间相互独立的情况。 P(X=k)=λ^k / k! * e^-λ
3.1.5、均匀分布
续均匀分布中，所有可能的结果是连续的，并且在相同长度间隔的分布概率是相同的。
**均匀分布的概率密度函数（PDF）：**对于连续型随机变量 X，如果它服从区间 [a,b]上的均匀分布，其概率密度函数为：f(x)= 1 / (b-a) ，其实就是面积为1，宽为 b-a 的长方形区域，那它的高就是1 / (b-a)
3.2、连续型
3.2.1、指数分布
概率密度函数 
x 是随机变量，表示事件发生的时间间隔；λ 是率参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。其对应的分布函数如图：
3.2.2、正态分布
表达形式 ： X N(μ,σ^2)
概率密度函数 
（x 是随机变量；μ 是均值；σ是标准差；σ^2是方差），其基本性质为 y=f(x)以x=u 为对称轴；x=u时，f(x)取到最大值 ；y=f(x)以x轴为渐近线，x±σ为拐点 ；σ固定，μ 变化，图像左右移动；μ 固定，σ变小，最高点上移，σ变大，最高点下移。
分布函数 
3.2.3、标准正态分布
表达形式 ： X N(0,1) ；标准正态分布的均值为0，标准差为1（y轴是对称轴，为偶函数）
概率密度函数 
，也就是在正态分布基础上将 μ 与 σ 进行赋值后变形。
分布函数 
3.2.4、正态分布标准化
第一步：设 y=x-μ
第二步：标准化，设 z = y /σ = (x-μ )/σ
得到了以Z为变量的正态分布函数 Z∼N(0,1) 。
标准化正态分布和正态分布的关系
概率密度函数 
分布函数 
三、随机变量函数的分布
从原有随机变量出发，通过某种函数关系得到新的随机变量。
1、离散型
第一步：确定x的值 ，找出所有使得 g(x)=y 成立的 x 的值。
第二步：对于每个满足条件的 x，将 X 取该值后的函数结果进行整理，相同结果的概率相加。
离散型随机变量函数的分布函数计算，最简单的方法是列出随机变量X的分布表，然后根据新的函数关系计算出新随机变量Y的值，其值对应的概率就是X原来值对应的概率值，然后形成分布表，如果Y值有重复，则将重复值对应的概率相加即可。
例如1：假设随机变量X的分布表：求Y=
| X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
解：根据x的变化列出y的变化
| Y | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|
| P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
例如2：假设随机变量X的分布表：求 Y= - 1
解：先根据随机变量的函数关系计算Y值，再将X的概率值填入
| Y | 15 | 0 | -1 | 0 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| P | 0.2 | 0.1 | 0.5 | 0.1 | 0.1 |
进行重复项合并，按照从低到高排列：
| Y | 15 | 0 | -1 |
|---|---|---|---|
| P | 0.3 | 0.2 | 0.5 |
2、连续型
第一步：获取 Y的分布函数 ；(y) =P(Y≤y) = P(g(X)≤y)
第二步：对分布函数求导获得概率密度函数：(y)=d/dy *
(y)
例如：已知随机变量X的概率密度函数为 (x)，求 Y=3X+2 的密度函数，假设
(x)服从在区间[0,4]的均匀分布
，求
解：
第一步：求Y的分布函数：(x) =P(Y≤x) = P(g(X)≤x) = P(3X+2 ≤ x )=P(X≤(x-2)/3) =
((x-2)/3)
第二步：对分布函数求导：(x)=
=
((x-2)/3) = 1/3 *
((x-2)/3)
第三步：带入x的概率密度函数内容，得到 区间从[0，4] =>[0,12] ，1/4=>1/12,其他不变
例如：
求Y=2X+8的概率密度
第一步： =
(Y ≤ x) =
(2X+8≤x)=
((x-8)/(2))
第二步：=
((x-8)/(2))=1/2 *
((x-8)/(2))
第三步：带入x的密度函数，获得y的密度函数：