矩阵之间的 张量积（Kronecker product） 是矩阵运算中的一种常见操作，通常用于量子计算、量子力学以及信号处理等领域。张量积的结果是两个矩阵组合成的一个更大的矩阵。具体来说，如果我们有两个矩阵 A A A 和 B B B，它们的张量积表示为 A ⊗ B A \otimes B A⊗B，计算方法如下：
张量积的定义
假设 A A A 是一个 m × n m \times n m×n 的矩阵， B B B 是一个 p × q p \times q p×q 的矩阵，则它们的张量积 A ⊗ B A \otimes B A⊗B 是一个 m p × n q mp \times nq mp×nq 的矩阵，元素按照以下方式排列：
A ⊗ B = ( a 11 B a 12 B ⋯ a 1 n B a 21 B a 22 B ⋯ a 2 n B ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 B a m 2 B ⋯ a m n B ) A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \end{pmatrix} A⊗B= a11Ba21B⋮am1Ba12Ba22B⋮am2B⋯⋯⋱⋯a1nBa2nB⋮amnB
即：将矩阵 A A A 的每个元素 a i j a_{ij} aij 乘以矩阵 B B B，并将其放置在结果矩阵的相应位置。
示例
设矩阵 A A A 和 B B B 分别为：
A = ( 1 2 3 4 ) , B = ( 0 5 6 7 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} A=(1324),B=(0657)
则 A ⊗ B A \otimes B A⊗B 为：
A ⊗ B = ( 1 ⋅ B 2 ⋅ B 3 ⋅ B 4 ⋅ B ) = ( 1 ( 0 5 6 7 ) 2 ( 0 5 6 7 ) 3 ( 0 5 6 7 ) 4 ( 0 5 6 7 ) ) = ( 0 5 0 10 6 7 12 14 0 15 0 20 18 21 24 28 ) A \otimes B = \begin{pmatrix} 1 \cdot B & 2 \cdot B \\ 3 \cdot B & 4 \cdot B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} & 2 \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ 3 \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} & 4 \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 & 10 \\ 6 & 7 & 12 & 14 \\ 0 & 15 & 0 & 20 \\ 18 & 21 & 24 & 28 \end{pmatrix} A⊗B=(1⋅B3⋅B2⋅B4⋅B)= 1(0657)3(0657)2(0657)4(0657) = 0601857152101202410142028
性质
- 张量积运算不满足交换律，即 A ⊗ B ≠ B ⊗ A A \otimes B \neq B \otimes A A⊗B=B⊗A。
- 张量积满足结合律，即 ( A ⊗ B ) ⊗ C = A ⊗ ( B ⊗ C ) (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C) (A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)。
- 张量积满足分配律，例如 ( A + C ) ⊗ B = A ⊗ B + C ⊗ B (A + C) \otimes B = A \otimes B + C \otimes B (A+C)⊗B=A⊗B+C⊗B。
在量子计算中的应用
在量子计算中，张量积用于描述多个量子位的组合状态。例如，两个量子位的量子态 ∣ ψ 1 ⟩ | \psi_1 \rangle ∣ψ1⟩ 和 ∣ ψ 2 ⟩ | \psi_2 \rangle ∣ψ2⟩ 可以用张量积表示为 ∣ ψ 1 ⟩ ⊗ ∣ ψ 2 ⟩ | \psi_1 \rangle \otimes | \psi_2 \rangle ∣ψ1⟩⊗∣ψ2⟩，表示它们的联合量子态。