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什么是AVL树
AVL树：二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但**如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。**解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），就可以降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一颗AVL树或空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2n)，搜索时间复杂度O(log2n)
AVL树结点的插入
基本思想：
是否继续往上更新，要看parent所在子树的高度是否变化
1. parent的平衡因子==0
说明parent的平衡因子更新前提是1 or -1，插入节点插入矮的一边
parent所在子树的高度不变，不需要继续往上更新了
2. parent的平衡因子==1/-1
说明parent的平衡因子更新前是 0，插入节点插入在任意一边
parent所在子树的高度发生了变化，需要继续往上更新
3. parent的平衡因子==2/-2
说明parent的平衡因子更新前是 1 or -1，插入节点插入在高的一边
进一步加剧了parent所在子树的不平衡，需要旋转处理
旋转（四种情况）
左旋转
基本思想：
1. subRL变成parent的右边（subRL的parent要变成parent，前提subRL不为空）
2. parent变成subR的左边（parent的parent要变成subR）
3. subR变成这棵子树的根（要看parent的parent是否是空结点还是有结点，如果是空就使subR为根节点，并且subR的parent为空，如果是有结点，就要看parent是parentparent的左还是右，如果是左就让subR成为它的左，如果是右就让subR成为它的右，）
4. 最后旋转完成后要把parent和subR的平衡因子设为0
右旋转
1. subRL变成parent的左边（subRL的parent要变成parent，前提subRL不为空）
2. parent变成subR的右边（parent的parent要变成subR）
3. subR变成这棵子树的根（要看parent的parent是否是空结点还是有结点，如果是空就使subR为根节点，并且subR的parent为空，如果是有结点，就要看parent是parentparent的左还是右，如果是左就让subR成为它的左，如果是右就让subR成为它的右，）
4. 最后旋转完成后要把parent和subR的平衡因子设为0
左右双旋（先左单旋再右单旋）
平衡因子更新：先判断subLR的bf，然后根据bf来更新parent和subR的bf
1、h0，subLR就是插入结点，parent=0；subR=0，subRL=0；
2、h-1，parent=1，subR=0，subRL=0；
3、h==1,parent=0，subR=-1，subRL=0；
右左双旋（先右单旋再左单旋）
平衡因子更新：先判断subRL的bf，然后根据bf来更新parent和subR的bf
1、h== 0，subLR就是插入结点，parent->bf=0，subR->bf=0，subRL->bf=0；
2、h==-1，parent->bf=0，subR->bf=1，subRL->bf=0；
3、h==1,parent->bf=-1，subR->bf=0，subRL->bf=0；
AVL树的检查
cpp
int _Height(NOde* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(NOde* root)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == root) return true;
// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (diff != root->_bf||abs(diff>=2))
return false;
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root ->_right);
}检验用例
cpp
void TestAVLTree()
{
AVLTree<int, int> t;
int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
int a1[] = {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14} ;
for (auto e : a)
{
t.Inster({ e, e });
}
t.Inorder();
cout<<t.IsBalanceTree()<<endl;
}AVL树的删除（了解即可）
因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置
总结
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
实现AVL树的代码
cpp
#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLNodes
{
pair<K,V> _kv;
AVLNodes<K, V>* _left;
AVLNodes<K, V>* _right;
AVLNodes<K, V>* _parent;
int _bf;
AVLNodes(const pair<K, V>& kv)
: _kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
template <class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLNodes<K, V> NOde;
public:
//添加
bool Inster(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new NOde(kv);
return true;
}
NOde* parent = nullptr;
NOde* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new NOde(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
parent->_bf--;
if (cur == parent->_right)
parent->_bf++;
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
PotateRL(parent);
}
else
{
PotateLR(parent);
}
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
NOde* Find(const K& key)
{
NOde* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
cout << endl;
}
bool Delete(const K& key)
{
NOde* parent = nullptr;
NOde* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//delete一个或0个孩子
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
//两个孩子
//右子树最小节点作为代替节点
NOde* rightMinp = cur;
NOde* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinp = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
cur->_key = rightMin->_key;
if (rightMinp->_left == rightMin)
rightMinp->_left = rightMin->_right;
else
rightMinp->_right = rightMin->_right;
delete rightMin;
return true;
}
}
return false;
}
bool IsBalanceTree()
{
return _IsBalanceTree(_root);
}
private:
int _Height(NOde* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(NOde* root)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == root) return true;
// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (diff != root->_bf||abs(diff>=2))
return false;
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root ->_right);
}
void RotateL(NOde* parent)
{
NOde* subR = parent->_right;
NOde* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
NOde* parentparent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parentparent == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == parentparent->_left)
{
parentparent->_left = subR;
}
if (parent == parentparent->_right)
{
parentparent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentparent;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
void RotateR(NOde* parent)
{
NOde* subL = parent->_left;
NOde* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
NOde* parentparent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parentparent == nullptr)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == parentparent->_left)
{
parentparent->_left = subL;
}
if (parent == parentparent->_right)
{
parentparent->_right = subL;
}
subL->_parent = parentparent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
void PotateRL(NOde* parent)
{
NOde* subR = parent->_right;
NOde* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
}
void PotateLR(NOde* parent)
{
NOde* subR = parent->_left;
NOde* subRL = subR->_right;
int bf = subRL->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
if (bf == 1)
{
subR->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
if (bf == -1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
}
void _Inorder(NOde* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_Inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << "="<<root->_kv.second<<"|";
_Inorder(root->_right);
}
private:
NOde* _root = nullptr;
};