线性代数基本知识

矩阵基础知识

六、矩阵的幂

定义

• 对于一个n阶方阵A，其m次幂表示将该矩阵连续乘以自身m次的结果，记作Am = A×A×...×A（共m个A相乘）。
• 特别地，当m=0时，规定A^0为单位矩阵E，即与A同阶的方阵，其对角线元素为1，其余元素为0。

性质

• 矩阵的幂运算满足一些基本的性质，如结合律、分配律等。
• 结合律：(A^k1)A^k2 = A^(k1+k2)。
• 幂的幂律：对于矩阵A和非负整数m和n，有A^(mn) = (A^n)^m。
• 单位矩阵的幂：对于任何非负整数m，都有I^m = I，其中I是n×n单位矩阵。
• 矩阵的幂运算不满足交换律，即(AB)^k通常不等于A^kB^k，除非A和B是可交换的。

七、伴随矩阵

定义

• 伴随矩阵是将原矩阵的每个元素替换为其代数余子式，然后对这些代数余子式进行转置得到的矩阵。对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)或A*。
• 代数余子式是指将矩阵A中第i行第j列元素aij去掉后，剩余部分形成的(n-1)阶子矩阵的行列式，再乘以(-1)的i+j次幂。

性质

• 伴随矩阵与原矩阵满足关系：AA*A = |A|E，其中|A|表示矩阵A的行列式，E为单位矩阵。
• 伴随矩阵的行列式与原矩阵的行列式有直接关系，具体为det(adj(A)) = det(A)^(n-1)。
• 若原矩阵可逆，则伴随矩阵的转置乘以原矩阵行列式的逆，即(adj(A) |A|^-1)，就是原矩阵的逆矩阵。
• 伴随矩阵的秩与原矩阵的秩有关。例如，当原矩阵的秩为n时，伴随矩阵的秩也为n；当原矩阵的秩为n-1时，伴随矩阵的秩为1；当原矩阵的秩小于n-1时，伴随矩阵的秩为0。

计算方法

• 对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵的计算步骤如下：

  1. 计算矩阵A的每个元素的代数余子式。
  2. 将这些代数余子式按原矩阵的位置进行转置排列，得到伴随矩阵。

八、逆矩阵

定义

• 逆矩阵是指对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称A可逆，B即为A的逆矩阵。
• 逆矩阵通常用A^(-1)表示，其中A为原矩阵。

性质

• 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
• 可逆矩阵一定是方阵。
• 如果矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的。
• 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
• 两个可逆矩阵的乘积依然可逆，且乘积的逆等于这两个矩阵的逆的乘积以相反的顺序。
• 可逆矩阵的转置矩阵也可逆，且转置的逆等于逆的转置。
• 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
• 逆矩阵的逆矩阵就是原矩阵本身，即(A(-1) = A。
• 逆矩阵的行列式与原矩阵的行列式互为倒数，即det(A^(-1)) = 1/det(A)。

计算方法

• 初等行变换法：将可逆矩阵A和单位矩阵I合并成矩阵B =(A,I)，对B施行初等行变换，将A转化为单位矩阵I，此时B的右半部分即为A的逆矩阵。
• 待定系数法：通过设立未知数来表示逆矩阵的元素，然后利用矩阵乘法的性质建立方程组，解方程组求出逆矩阵的元素。
• 伴随矩阵法：先计算矩阵的伴随矩阵，然后利用公式A^(-1) = adj(A) / det(A)计算逆矩阵，其中adj(A)是A的伴随矩阵，det(A)是A的行列式。
• 高斯-约当消元法：通过初等行变换将矩阵转换为行最简阶梯形矩阵，然后将其转换为单位矩阵，同时将单位矩阵转换为逆矩阵。
• 对于一些特殊矩阵，如上三角矩阵、下三角矩阵和对角矩阵，它们的逆矩阵可以通过简单的公式或者性质直接得到。
• 现代计算机软件如MATLAB、Python等提供了求逆矩阵的函数，可以直接调用这些函数来求逆矩阵。

九、矩阵的标准型

矩阵的标准型通常指的是矩阵经过一系列初等行变换和列变换后，所达到的具有一定特征的简化形式。在不同的数学领域和问题背景下，标准型的具体含义可能有所不同。

常见类型

1. 行阶梯形矩阵 ：
   • 这种矩阵的每行第一个非零元素（称为该行的主元）左边都是零元素，且每行的主元所在列上方的所有元素都是零。
2. 最简行阶梯形矩阵 ：
   • 在行阶梯形矩阵的基础上，每个主元都是1，且这些主元所在的列中，除了主元本身，其他元素都是零。
3. 对角形矩阵 ：
   • 非对角线上的元素都是零的矩阵，即除了主对角线上的元素，其他位置的元素都是零。

向量基础知识

一、向量基础知识

向量空间

首先，向量是定义在某个向量空间中的元素。向量空间是一个非空集合，它满足一定的条件，使得其中的元素（即向量）可以进行加法和数乘运算。

加法运算

在向量空间中，任意两个向量都可以进行加法运算。这种加法运算满足以下性质：

• 交换律：对于任意向量a和b，有a+b=b+a。
• 结合律：对于任意向量a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
• 零向量：存在一个零向量0，使得对于任意向量a，有a+0=a。
• 相反向量：对于任意向量a，存在一个相反向量-a，使得a+(-a)=0。

例子：

假设有两个向量 a=(2,3) 和 b=(4,1)，我们需要计算它们的和 a+b。

运算过程：

根据向量加法的坐标运算规则，即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差，我们有：

a+b=(2+4,3+1)=(6,4)

数乘运算

在向量空间中，任意向量都可以与一个标量（实数或复数）进行数乘运算。这种数乘运算满足以下性质：

• 分配律：对于任意向量a和b以及任意标量k，有k(a+b)=ka+kb。
• 结合律（与标量乘法）：对于任意向量a以及任意标量k和l，有(kl)a=k(la)。
• 单位元：存在一个单位标量1，使得对于任意向量a，有1a=a。
• 数乘的零性质：对于任意向量a，有0a=0（这里的0是零向量）。

例子：

假设有一个向量 a=(1,2)，我们需要计算它与标量 k=3 的数乘结果 ka。

运算过程：

根据向量数乘的坐标运算规则，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，我们有：

ka=3(1,2)=(3×1,3×2)=(3,6)

二、矩阵的特征值和特征向量

定义

对于一个n×n的方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av=λv，那么λ被称为矩阵A的特征值，v被称为对应于特征值λ的特征向量。

几何意义

• 特征值：特征值λ描述了矩阵A在特征向量v的方向上的缩放因子。如果λ>1，则矩阵A在该方向上拉伸向量；如果0<λ<1，则矩阵A压缩向量；如果λ=0，则向量被映射为零向量；如果λ<0，则向量被反转方向并缩放。
• 特征向量：特征向量v表示在矩阵A的线性变换下方向不变的向量。换句话说，矩阵A对特征向量v的作用仅仅是改变其长度（缩放），而不会改变其方向。

求解方法

1. 求特征值：

   • 构造特征方程：det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是标量。
   • 解这个方程以找到矩阵A的特征值λ。

2. 求特征向量：

   • 对于每个求得的特征值λ，将其代入方程(A-λI)v=0。
   • 解这个线性方程组以找到对应于特征值λ的特征向量v。

例题

三、向量的模和内积

向量的模

向量的模，也称为向量的长度或范数，是一个标量，表示向量的大小。在二维或三维空间中，我们可以直观地理解向量的模为从原点到该向量所表示点的距离。

对于n维向量a=(a1​,a2​,...,an​)，其模定义为：

∣a∣=a12​+a22​+...+an2​​

向量的内积

向量的内积，也称为点积或数量积，是两个向量之间的一种运算，结果是一个标量。它反映了两个向量之间的夹角和相对大小。

对于n维向量a=(a1​,a2​,...,an​)和b=(b1​,b2​,...,bn​)，它们的内积定义为：

a⋅b=a1​b1​+a2​b2​+...+an​bn​

内积还可以表示为向量的模和它们之间夹角的余弦值的乘积，即：

a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cosθ

其中，θ是向量a和b之间的夹角。

性质和应用

1. 模的性质 ：
   • 非负性：∣a∣≥0，且∣a∣=0当且仅当a=0。
   • 齐次性：∣λa∣=∣λ∣∣a∣，其中λ是标量。
   • 三角不等式：∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣。
2. 内积的性质 ：
   • 交换律：a⋅b=b⋅a。
   • 分配律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c。
   • 齐次性：(λa)⋅b=λ(a⋅b)，其中λ是标量。
   • 非负性：a⋅a=∣a∣2≥0。
3. 应用 ：
   • 计算向量的长度或距离。
   • 计算向量之间的夹角。
   • 判断向量的正交性（即两个向量是否垂直）。
   • 在物理中，内积用于计算功、能量等物理量。
   • 在机器学习和数据科学中，向量的模和内积用于计算向量之间的相似度和距离，如欧几里得距离、余弦相似度等。
4. 例题：