从0开始深度学习（17）——数值稳定性和模型初始化

在每次训练之前，都会对模型的参数进行初始化，初始化方案的选择在神经网络学习中起着举足轻重的作用，它对保持数值稳定性至关重要。

我们选择哪个函数以及如何初始化参数 可以决定优化算法收敛的速度有多快。糟糕选择可能会导致我们在训练时遇到梯度爆炸 或梯度消失。

1 梯度消失和梯度爆炸

不稳定梯度带来的风险不止在于数值表示；不稳定梯度也威胁到我们优化算法的稳定性。我们可能面临一些问题：

要么是**梯度爆炸（gradient exploding）问题：参数更新过大，破坏了模型的稳定收敛；
要么是梯度消失（gradient vanishing）**问题：参数更新过小，在每次更新时几乎不会移动，导致模型无法学习。

1.1 梯度消失

这里以sigmoid函数为例，因为它类似于阈值函数，所以也容易导致梯度消失，我们创建了一个从 -8.0 到 8.0，步长为 0.1 的一维张量 x，使用sigmoid函数，然后计算 y 对 x 的梯度，最后输出一个横轴是x，y轴是梯度的图像

python 复制代码

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l

x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = torch.sigmoid(x)
y.backward(torch.ones_like(x))

d2l.plot(x.detach().numpy(), [y.detach().numpy(), x.grad.numpy()],
         legend=['sigmoid', 'gradient'], figsize=(4.5, 2.5))

我们发现，当sigmoid函数的输入很大或是很小时，它的梯度都会消失，所以一旦某个网络层的输入过大或者过小，梯度就会消失，因此，更稳定的ReLU系列函数称为了默认选择

1.2 梯度爆炸

通过构造一个简单的递归函数或链式乘法，可以看到梯度在反向传播过程中如何逐渐增大

python 复制代码

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l

# 构造从 -1 到 1 的输入数据，并启用梯度计算
x = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)

# 模拟梯度爆炸：我们构造一个由 100 个常数值相乘的过程
y = x
for i in range(100):  # 重复 100 次
    y = y * 1.1  # 每次乘以 1.1

# 反向传播
y.backward()

# 绘制结果
x_grad = x.grad.item()
print(f"x 的梯度值为: {x_grad}")

# 由于我们反复放大，梯度会呈指数增长，这就是梯度爆炸的表现。

当这种情况是由于深度网络的初始化所导致时，我们没有机会让梯度下降优化器收敛。

1.3 对称性问题

如果所有的神经元（同一层中的神经元）具有相同的初始权重，它们将学到相同的特征。这种现象会让网络的学习过程失去多样性，进而影响模型的表达能力和训练效果。

例如，如果你把每一层的所有神经元的权重都初始化为 0 或相同的值，网络中的每个神经元都会执行相同的计算，这样就失去了通过不同神经元学习不同特征的意义。

1.4 打破对称性

打破对称性就是在网络初始化时，为每个神经元赋予不同的初始权重值，确保它们在训练过程中能学习到不同的特征。通常的做法是随机初始化权重 ，同样的还能使用暂退法正则化来打破

2 参数初始化

解决（或至少减轻）上述问题的一种方法是进行参数初始化

2.1 默认初始化

之前的例子中，我们一直使用的是正态分布来初始化权重，如果不指定，pytorch框架会使用默认的随机初始化方法。

2.2 Xavier初始化（ Glorot 初始化）

核心思想：

Xavier 初始化的目标是确保信号的方差在每一层传播时保持一致，即：

前向传播中，输出的激活值的方差保持稳定，避免过大或过小。
反向传播中，梯度的方差同样保持稳定，避免梯度爆炸或梯度消失。

为了实现这个目标，Xavier 初始化根据输入和输出层的神经元数量，计算合适的初始权重分布。具体公式如下：

对于权重矩阵中的每个元素 W i j W_{ij} Wij ，其初始化值从一个均匀分布或正态分布中随机采样：

均匀分布：

正态分布：

其中：

n i n n_{in} nin是该层神经元的输入节点数量（上一层的神经元数量）。
n o u t n_{out} nout是该层神经元的输出节点数量（下一层的神经元数量）。

PyTorch 中提供了 Xavier 初始化的方法，可以直接使用 torch.nn.init.xavier_uniform_ 或 torch.nn.init.xavier_normal_ 来应用 Xavier 初始化。

python 复制代码

import torch
import torch.nn as nn

linear = nn.Linear(100, 50)  
# 使用 Xavier 均匀初始化
nn.init.xavier_uniform_(linear.weight)
# 如果需要 Xavier 正态分布初始化
# nn.init.xavier_normal_(linear.weight)

Xavier 初始化通过平衡前向和反向传播中信号和梯度的方差，能够有效地帮助深层网络稳定训练，特别是对于使用 sigmoid 或 tanh 激活函数的网络非常重要。