Python数值计算（33）——simpson 3/8积分公式

1. 背景知识

既然前的Simpson可以通过使用三个点构造二次曲线近似积分，那么，如果点数增加到了4个，然后不就可以构造三次多项式的曲线，实现对目标值的积分吗？

如果采用和上一节介绍的同样的方法，我们可以推导出：

其中

2. 算法实现

通过上述原理可以很容易使用Python实现：

# Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration
import numpy as np
def simpson38(f, a, b):
    h=(b-a)/3
    x=np.linspace(a,b,4)
    y=np.vectorize(f)(x)
    return 3*h*(y[0]+3*y[1]+3*y[2]+y[3])/8.0

如果使用该方法，计算humps函数在区间0,1上的数值积分，其效果如下：

可见误差相比之前有了很大的改善，但还是有27%，还是偏大的。

3. 复合simpson 3/8积分公式

和前面类似，如果将一个大的积分区间，划分为更多个较小的积分区间，在每个积分区间上使用Simpson 3/8积分公式，则可以更加贴近原函数，和复合Simpson 1/3积分公式要求点的个数为偶数类似，这个也要求点的个数为3的倍数。

最终实现效果如下：