【每日一题】LeetCode - 盛最多水的容器

给定一个长度为 n 的整数数组 height。有 n 条垂线，第 i 条线的两个端点是 (i, 0) 和 (i, height[i])。要求找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

输入示例：

height = [1,8,6,2,5,4,8,3,7]

输出：

49

解释 ：

在此情况下，最大水容量为 49，选择的两个端点分别在位置 1 和位置 8。

解题思路

这个问题的关键在于找到一对垂线，使得它们之间的距离乘以两条线中较短的一条的高度值达到最大。我们可以使用以下两种算法进行求解。

暴力法

最直接的方法是遍历每一对垂线，计算其形成的容器容量，取其中的最大值。这种方法的时间复杂度较高，但能保证得到正确的结果。

代码实现：

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int l = 0, ans = 0;
        for(int i = 0; i < height.size(); i++) {
            for(int k = i; k < height.size(); k++) {
                int m = min(height[i], height[k]);
                ans = max((k - i) * m, ans);
            }
        } 
        return ans;
    }
};

时间复杂度分析：

暴力法的时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，因为我们需要遍历数组中的每一对垂线。空间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)，仅使用了常量空间。

优缺点：

暴力法虽然简单直接，但在数据量较大时效率低下。适合数据量较小的情况。

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双指针法

双指针法是一种优化算法，它使用左右两个指针从数组两端逐渐向中间移动。在每一步中，通过计算两个指针指向的垂线形成的容器面积，并与当前最大面积进行比较，保留较大的值。然后将较短的垂线的指针向中间移动，这样可以有效减少计算量。

我们使用两个指针从数组两端向中间逼近来寻找最大容积。由于面积由最短的边和两边之间的距离决定，因此我们可以使用以下策略来不断逼近最大面积：

1. 初始化左指针 l 指向数组的最左端，右指针 r 指向数组的最右端。
2. 计算以 l 和 r 两条线组成的容器的面积 Area = (r - l) * min(height[l], height[r])。
3. 若当前面积比已有的最大面积大，则更新最大面积。
4. 比较 height[l] 和 height[r] 的高度：
   • 若 height[l] < height[r]，说明左边的线较短，为了可能找到更大的面积，我们将左指针右移一格 l++。
   • 否则，右指针左移一格 r--。
5. 重复上述过程，直到左右指针相遇为止。

为什么这种方法有效？

因为若一对指针组成的容器容量较小，由于容量取决于 较短的边，所以只移动较短的那条边，可能才有机会得到更大的容积。而移动较长的那边对容积并没有帮助。

代码实现：

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int l = 0, r = height.size() - 1, ans = 0;
        while (l < r) {
            ans = max(ans, (r - l) * min(height[r], height[l]));
            if (height[r] < height[l]) r--;
            else l++;
        }
        return ans; 
    }
};

代码解析

1. l 和 r 初始化为左右两端的指针。
2. ans 用于存储最大面积，初始为 0。
3. while(l < r)：当左右指针相遇时停止迭代。
4. 每次迭代中更新 ans 为当前最大面积。
5. 比较 height[l] 和 height[r]，移动较短的一端的指针，直到 l >= r。

时间复杂度分析：

双指针法的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)，只需遍历一遍数组。空间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。

优缺点：

双指针法效率更高，适用于大数据量的情况，能在不遍历所有组合的前提下找到最优解。

两种方法对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	优势	劣势
暴力法	O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)	O ( 1 ) O(1) O(1)	实现简单，便于理解	数据量大时效率低下
双指针法	O ( n ) O(n) O(n)	O ( 1 ) O(1) O(1)	效率高，适用于大数据量	实现稍微复杂

拓展思路

这种双指针思想可以在很多数组问题中应用。例如：

1. 三数之和：通过固定一个数，使用双指针法在剩余的子数组中寻找其他两个数，使得它们的和为目标值。
2. 接雨水：在数组中寻找形成容器的最大水量，运用双指针法可以减少时间复杂度。

总结

这道题考查了对双指针的理解和应用。在理解基本逻辑的基础上，掌握双指针的移动策略，可以有效减少算法复杂度。双指针法是一种经典的数组优化方法，在处理类似问题时能有效提升效率。