C++中红黑树的实现

1.红黑树的概念

1.1红黑树的规则

1.2红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍

1.3红黑树的效率

[2.2.2情况1：叔叔节点存在且为红 -- 变色](#2.2.2情况1：叔叔节点存在且为红 -- 变色)

[2.2.3情况2：叔叔节点存在且为黑或者不存在 -- 旋转 + 变色](#2.2.3情况2：叔叔节点存在且为黑或者不存在 -- 旋转 + 变色)

[2.2.3.1情况2-1：c插入在p的左边 -- 右单旋 + 变色](#2.2.3.1情况2-1：c插入在p的左边 -- 右单旋 + 变色)

[2.2.3.2情况2-2：c插入在p的右边 -- 左右双旋 + 变色](#2.2.3.2情况2-2：c插入在p的右边 -- 左右双旋 + 变色)

1.红黑树的概念

红黑树是一颗二叉树 ，他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊ ，可以是红⾊或者⿊⾊ 。通过对任何⼀条从根到叶⼦(空节点)的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍，因⽽是接近平衡的。

1.1红黑树的规则

1.每个节点不是红色就是黑色。

2.根节点是黑色的。

3.如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点必须是黑色的，也就是说任何一条路径不会有连续的红色节点。

4.对于任意一个节点，从该节点到其所有NULL节点的简单路径上，均包含相同数量的黑色节点。

说明：《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是⿊⾊的规则。他这⾥所指的叶⼦结点不是传统的意义上的叶⼦结点，⽽是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。

这里先看看几颗红黑树：

1.2红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍

由规则4可知，从根到NULL节点的每条路径上都有相同数量的黑色节点，极端情况下，最短路径就是全为黑色节点的路径，假设最短路径长度为bh(black height)。

由规则2和规则3可知，任何一条路径不会有连续的红色节点，极端情况下，最长的路径就是一黑一红间隔组成，那么最长路径的长度为2*bh。

综合红⿊树的4点规则⽽⾔，理论上的全⿊最短路径和⼀⿊⼀红的最⻓路径并不是在每棵红⿊树都存在的。假设任意⼀条从根到NULL结点路径的⻓度为x，那么bh <= x <= 2*bh。

1.3红黑树的效率

假设N是红⿊树树中结点数量，h最短路径的⻓度，那么由此推出h ≈ logN ，也就是意味着红⿊树增删查改最坏也就是⾛最⻓路径 2 ∗ logN ，那么时间复杂度还是。

红⿊树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过⾼度差直观的控制了平衡。红⿊树通过4条规则的颜⾊约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次，但是相对⽽⾔，插⼊相同数量的结点，红⿊树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。

2.红黑树的实现

2.1红黑树的结构

cpp 复制代码

//枚举表示颜色
enum color
{
	RED,
	BLACK
};

//默认按key/value结构实现
template <class K, class V>
class RBTreeNode
{
	//这里更新控制平衡也要加入parent指针
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode _left;
	RBTreeNode _right;
	RBTreeNode _parent;
	color _col;	//每个节点增加一个表示颜色的成员

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
	{}
};

template <class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	//...
private:
	Node _root = nullptr;
};

2.2红黑树的插入

2.2.1红黑树插入一个值的大概过程

1.插入一个值按二叉搜索树的规则进行插入(默认新插入的节点为红色)，插入后观察是否符合红黑树的4条规则。

2.**如果是对空树进行插入，新增节点为根节点，将颜色改为黑色；如果是对非空树插入，新增节点必须为红色节点，**如果为黑色节点则破环了规则4，规则4是很难维护的。

3.非空树插入后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是⿊⾊的，则没有违反任何规则，插⼊结束。

4.⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是红⾊的，则违反规则3。进⼀步分析，c是红⾊，p为红，g必为⿊，这三个颜⾊都固定了，关键的变化看u的情况，需要根据u分为以下⼏种情况分别处理。

说明：下图中假设我们把新增结点标识为c (cur)，c的⽗亲标识为p(parent)，p的⽗亲标识为

g(grandfather)，p的兄弟标识为u(uncle)。

2.2.2情况1：叔叔节点存在且为红 -- 变色

c为红，p为红，g为⿊，u存在且为红，则将p和u变⿊，g变红。在把g当做新的c，继续往上更新。

分析：因为p和u都是红色，g是黑色，把p和u变黑，左右子树路径各增加一个黑色节点，g变红，相当于保持g所在子树的黑色节点数量不变，同时解决了c和p连续红色节点的问题。需要继续往上更新是因为g是红色，如果g的父亲也是红色，那么还需要继续处理；如果g的父亲是黑色，则处理结束；如果g的父亲就是整棵树的根，再把g变回黑色。

情况1只变⾊，不旋转。所以⽆论c是p的左还是右，p是g的左还是右，都是上⾯的变⾊处理⽅式。

下图进行了抽象表达，d/e/f代表每条路径上拥有hb各黑色节点的子树，a/b代表每条路径拥有hb-1个黑色节点的根为红的子树，hb>=0。

2.2.3情况2：叔叔节点存在且为黑或者不存在 -- 旋转 + 变色

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上来的。

分析：p必须变⿊，才能解决连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解决问题，需要旋转+变⾊。

下面以分析叔叔节点在父亲节点的右边为例(叔叔节点在父亲节点的左边是类似的)。

2.2.3.1情况2-1：c插入在p的左边 -- 右单旋 + 变色

**如果p是g的左，c是p的左，那么以g为旋转点进行右单旋，再把p变黑，g变红即可。p变成这棵树新的根，这样子树黑色节点的数量不变，没有连续的红色节点，且不需要往上更新，**因为p为黑色，不管p的父亲节点是黑色还是红色都不违反规则。

2.2.3.2情况2-2：c插入在p的右边 -- 左右双旋 + 变色

**如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进⾏左单旋，再以g为旋转点进⾏右单旋，再把c变⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，**因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。

2.2.4红黑树插入的总结

2.3红黑树的插入代码实现

cpp 复制代码

bool Insert(const pair<K, V> kv)
	{
		//如果为空树，插入的节点作为根
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;	//根必须为黑色
			return true;
		}

		//找到空位置
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//插入节点
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;	//插入一个红色的节点
		if (parent->_kv.first < kv.first)
			parent->_right = cur;
		else
			parent->_left = cur;

		cur->_parent = parent;

		//如果出现连续的红色节点进入下列循环
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)	//如果叔叔节点在右边
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//变色
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续向上更新
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else    //叔叔不存在或者存在且为黑色
				{
					if (cur == parent->_left)	//插入到p的左边
					{
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else if (cur == parent->_right)	//插入到p的右边
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						return false;
					}
					break;
				}
			}
			else if (parent == grandfather->_right)	//叔叔在左边
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//变色
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续向上更新
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						return false;
					}
					break;
				}
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		_root->_col = BLACK;	//最后把根节点的颜色改为黑色
		return true;
	}

2.4红黑树的查找

红黑树的查找等同于二叉搜索树的查找。

cpp 复制代码

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

2.5红黑树的验证

这里获取最长路径和最短路径检查最长路径不超过最短路径的2倍是不可行的，因为就算满足这个给条件，红黑树也可能颜色不满足规则。所有还是要去检查红黑树的4点规则。

规则1枚举颜色类型，天然满足要求。

规则2直接检查根即可。

规则3前序遍历检查，遇到红色节点检查孩子节点还需要判断孩子节点是否存在不太方便，所有反过来检查，遍历到孩子节点，去检查父亲节点的颜色是否为红色。

规则4前序遍历，遍历过程中用形参记录根到当前节点的blackNum(黑色节点数量)，前序遍历遇到黑色节点就++blackNum，走到空就计算出一条路径上的黑色节点数量。再以任意一条路径的黑色节点数量作为参考值，依次比较即可。

cpp 复制代码

public:
    bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;
		
		if (_root->_col == RED)    //检查规则2
			return false;

		//计算参考值
		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
				++refNum;

			cur = cur->_left;
		}

		return Check(_root, 0, refNum);
	}
private:
    bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)    //检查规则4
		{
			if (refNum != blackNum)
			{
				cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

		//遍历到孩子节点反过来检查父亲节点是不是连续的红色节点
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)    //检查规则3
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blackNum++;
		}

		return Check(root->_left, blackNum, refNum)
			&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}

3.红黑树和AVL树的性能检测

测试代码

cpp 复制代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

#include "RBTree.h"
#include "AVLTree.h"

void TestTree2()
{
	const int N = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}

	size_t begin1 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}
	size_t end1 = clock();

	size_t begin2 = clock();
	RBTree<int, int> rbt;
	for (auto e : v)
	{
		rbt.Insert({ e, e });
	}
	size_t end2 = clock();

	cout << "AVL Insert:" << end1 - begin1 << endl;
	cout << "RB Insert:" << end2 - begin2 << endl;

	cout << "AVL IsBalance:" << t.IsBalanceTree() << endl;
	cout << "RB IsBalance:" << rbt.IsBalance() << endl;

	cout << "AVL Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "RB Height:" << rbt.Height() << endl;

	cout << "AVL Size:" << t.Size() << endl;
	cout << "RB Size:" << rbt.Size() << endl;

	size_t begin11 = clock();
	//确定的值
	for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}
	随机值
	//for (size_t i = 0; i < N; i++)
	//{
	//	t.Find(rand() + i);
	//}
	size_t end11 = clock();

	size_t begin22 = clock();
	//确定的值
	for (auto e : v)
	{
		rbt.Find(e);
	}
	随机值
	//for (size_t i = 0; i < N; i++)
	//{
	//	rbt.Find(rand() + i);
	//}
	size_t end22 = clock();

	cout << "AVL Find:" << end11 - begin11 << endl;
	cout << "RB Find:" << end22 - begin22 << endl;
}

int main()
{
	TestTree2();
	return 0;
}

插入100万个数据可以看出，红黑树和AVL虽然高度不同，但是插入和查找的速率是差不多的。

4.参考代码

4.1RBTree.h

cpp 复制代码

#pragma once

//枚举表示颜色
enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	//这里更新控制平衡也要加入parent指针
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
	{}
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V> kv)
	{
		//如果为空树，插入的节点作为根
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;	//根必须为黑色
			return true;
		}

		//找到空位置
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//插入节点
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;	//插入一个红色的节点
		if (parent->_kv.first < kv.first)
			parent->_right = cur;
		else
			parent->_left = cur;

		cur->_parent = parent;

		//如果出现连续的红色节点进入下列循环
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)	//如果叔叔节点在右边
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//变色
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续向上更新
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else    //叔叔不存在或者存在且为黑色
				{
					if (cur == parent->_left)	//插入到p的左边
					{
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else if (cur == parent->_right)	//插入到p的右边
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						return false;
					}
					break;
				}
			}
			else if (parent == grandfather->_right)	//叔叔在左边
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//变色
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续向上更新
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						return false;
					}
					break;
				}
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		_root->_col = BLACK;	//最后把根节点的颜色改为黑色
		return true;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		//改变指针的指向
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* pParent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		
		if (pParent == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = pParent;
		}
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		//改变指针的指向
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* pParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (pParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subR;
			}

			subR->_parent = pParent;
		}
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;
		
		if (_root->_col == RED)	//检查规则2
			return false;

		//计算参考值
		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
				++refNum;

			cur = cur->_left;
		}

		return Check(_root, 0, refNum);
	}
private:
	bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)	//检查规则4
		{
			if (refNum != blackNum)
			{
				cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

		//遍历到孩子节点反过来检查父亲节点是不是连续的红色节点
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)	//检查规则3
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blackNum++;
		}

		return Check(root->_left, blackNum, refNum)
			&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int left_height = _Height(root->_left);
		int right_height = _Height(root->_right);

		return left_height > right_height ? left_height + 1 : right_height + 1;
	}

	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		
		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

	Node* _root = nullptr;
};

4.2AVLTree.h

参考C++AVL树的介绍和实现中的参考代码。

4.3测试代码Test.cpp

cpp 复制代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

#include "RBTree.h"
#include "AVLTree.h"

void TestRBTree1()
{
	RBTree<int, int> t;
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };

	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}

	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}

void TestTree2()
{
	const int N = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}

	size_t begin1 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}
	size_t end1 = clock();

	size_t begin2 = clock();
	RBTree<int, int> rbt;
	for (auto e : v)
	{
		rbt.Insert({ e, e });
	}
	size_t end2 = clock();

	cout << "AVL Insert:" << end1 - begin1 << endl;
	cout << "RB Insert:" << end2 - begin2 << endl;

	cout << "AVL IsBalance:" << t.IsBalanceTree() << endl;
	cout << "RB IsBalance:" << rbt.IsBalance() << endl;

	cout << "AVL Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "RB Height:" << rbt.Height() << endl;

	cout << "AVL Size:" << t.Size() << endl;
	cout << "RB Size:" << rbt.Size() << endl;

	size_t begin11 = clock();
	//确定的值
	for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}
	随机值
	//for (size_t i = 0; i < N; i++)
	//{
	//	t.Find(rand() + i);
	//}
	size_t end11 = clock();

	size_t begin22 = clock();
	//确定的值
	for (auto e : v)
	{
		rbt.Find(e);
	}
	随机值
	//for (size_t i = 0; i < N; i++)
	//{
	//	rbt.Find(rand() + i);
	//}
	size_t end22 = clock();

	cout << "AVL Find:" << end11 - begin11 << endl;
	cout << "RB Find:" << end22 - begin22 << endl;
}

int main()
{
	//TestRBTree1();
	TestTree2();
	return 0;
}