深度学习——线性神经网络（六、softmax回归的从零开始实现）

文章目录

• [6.1 初始化模型参数](#6.1 初始化模型参数)
• [6.2 定义softmax操作](#6.2 定义softmax操作)
• [6.3 定义模型](#6.3 定义模型)
• [6.4 定义损失函数](#6.4 定义损失函数)
• [6.5 分类精度](#6.5 分类精度)
• [6.6 训练](#6.6 训练)
• [6.7 预测](#6.7 预测)
• [6.8 小结](#6.8 小结)

前言：本节将使用在上一小节中引入的Fashion-MNIST数据集，并设置数据迭代器的批量大小为256。

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

display 函数是 IPython 的一个实用工具，允许你在 Jupyter 笔记本中直接显示内容。这与简单地将输出打印到控制台不同。

例如：

6.1 初始化模型参数

每个样本都将用固定长度的向量表示。原始数据集中的每个样本都是28像素 × \times × 28像素的图像。展开每张图像，把它们看作长度为784的向量。

在softmax回归中，输出与类别一样多。因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10，因此，权重是一个784 × \times × 10 的矩阵，偏置是一个1 × \times × 10的行向量。在此，我们将正态分布初始化权重w，偏置初始化为0.

num_inputs = 784
num_outputs = 10

W = torch.normal(0,0.01,size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs,requires_grad=True)

6.2 定义softmax操作

实现softmax需要以下三个步骤：

1. 对每个项求幂（使用 exp ⁡ \exp exp ）；
2. 对每一行求和（小批量中的每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数；
3. 将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1.
   s o f t m a x ( X ) i j = exp ⁡ ( X i j ) ∑ k exp ⁡ ( X i k ) softmax(\bm X){ij} = \frac {\exp(\bm X{ij})} {\sum_k \exp(\bm X_{ik})} softmax(X)ij=∑kexp(Xik)exp(Xij)

分母或规范化常数也称为配分函数。该名称来自统计物理学中的一个模拟粒子群分布的方程。

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition # 这里应用了广播机制

在上述代码，对于任何的输入，都能将每个元素转变成一个非负数，而且每行总和为1

验证：

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
print(X_prob, X_prob.sum(1))

tensor([[0.3436, 0.1294, 0.2294, 0.0508, 0.2468],
        [0.8011, 0.0073, 0.0859, 0.0267, 0.0791]]) tensor([1., 1.])

6.3 定义模型

将数据传递到模型之前，使用reshape函数将每个原始图像展平为向量。

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

• X.reshape((-1, W.shape[0]))：将输入 X 重塑为一个二维张量。-1 表示自动计算该维度的大小，以便保持总元素数量不变。
• W.shape[0] 是权重矩阵 W 的第一个维度的大小，这通常代表输入特征的数量。
• torch.matmul(...)：执行矩阵乘法，将重塑后的输入 X 与权重矩阵 W 相乘。
• +b：将偏置向量 b 加到矩阵乘法的结果上，完成线性变换

6.4 定义损失函数

y = torch.tensor((0, 2))
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])
print(y_hat[[0, 1], y])

tensor([0.1000, 0.5000])

创建了一个数据样本y_hat，其中包含2个样本在3个类别上的预测概率，以及样本对应的正确标签y。有了y，就可以知道在第一个样本中，第一个类别是正确的预测；在第二个样本中，第三个类别是正确的预测。然后使用y作为y_hat中概率的索引，选择第一个样本中第一个类别的概率和第二个样本中第三个类的概率。

接下来实现交叉损失熵函数：

def cross_entropy(y_hat, y):
    return -torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

print(cross_entropy(y_hat, y))

tensor([2.3026, 0.6931])

• range(len(y_hat))：生成一个与 y_hat 张量长度相同的序列，用于索引 y_hat。
• y_hat[range(len(y_hat)), y]：使用上述生成的序列和真实标签的索引 y 来选择 y_hat 中对应真实标签的概率值。
• torch.log(...)：计算这些被选中概率值的自然对数。
• 由于对数函数的输出通常为负值，为了得到损失值（通常为正值），在前面加上负号。

6.5 分类精度

分类精度是正确预测数与预测总数之比。如果y_hat是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类别的预测分数。使用 arg max ⁡ \argmax argmax获得每行中最大元素的索引来获得预测类别。然后，我们将预测类别与真实元素进行比较。结果是一个包含0（错）和1（对）的张量。最后，通过求和会得到预测正确的数量。

def accuracy(y_hat, y):
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())

print(accuracy(y_hat, y) / len(y))

0.5

cmp = y_hat.type(y.dtype) == y

由于等式运算符"=="对数据类型要求比较严格，因此将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型相一致。

同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集， 我们可以评估在任意模型net的精度。

class Accumulator:  #@save
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n

    def add(self, *args):
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]

    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)

    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]


def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
    return metric[0] / metric[1]

这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。 在上面的evaluate_accuracy函数中， 我们在Accumulator实例中创建了2个变量， 分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。 当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

由于我们使用随机权重初始化net模型， 因此该模型的精度应接近于随机猜测。 例如在有10个类别情况下的精度为0.1。

print(evaluate_accuracy(net, test_iter)) # test_iter是导入fashion_mnist数据集中的测试集

0.0947

6.6 训练

首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。

updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。 它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()
            l.mean().backward()
            updater.step()
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

定义一个在动画中绘制数据的实用程序类Animator

class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

实现一个训练函数， 它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。 该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。 在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。 我们将利用Animator类来可视化训练进度。

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型（定义见第3章）"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

定义小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数，设置学习率为0.1。

lr = 0.1

def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

6.7 预测

现在训练已经完成，模型已经准备好对图像进行分类预测。 给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。

def predict_ch3(net, test_iter, n=6): 
    """预测标签"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, test_iter)

6.8 小结

1. 借助softmax回归，我们可以训练多分类的模型；
2. 训练softmax回归循环模型与训练线性回归模型非常相似：先读取数据，再定义模型和损失函数，然后使用优化算法训练模型。
   （PS：大多数常见的深度学习模型都有类似的训练过程）