算法 - 高精度算法(加减乘除)

codkingo2024-10-28 15:29

高精度加法

算法思路

  1. 用a、b两个字符串存储
  2. 将a、b逆序存储到int类型的数组中，A、B
  3. 新建数组C，用于保存结果 ；新建整数t=0，保存进位
  4. 将各个位上的数字进行相加，得出每一位的结果和进位值

代码模板

go 复制代码 
package main

import (
	"fmt"
	"strconv"
)

func Add(A, B []int) string {
	// 让A的长度大于B
	if len(A) < len(B) {
		return Add(B, A)
	}

	C := make([]int, 0)
	t := 0
	for i := 0; i < len(A) || t > 0; i++ {
        if i < len(A) {
            t += A[i]
        }
		if i < len(B) {
			t += B[i]
		}
		C = append(C, t%10)
		t /= 10
	}

	var res = ""
	// 转为结果字符串
	for i := len(C) - 1; i >= 0; i-- {
		res += strconv.Itoa(C[i])
	}
	return res
}

func main() {
	var a, b string
	fmt.Scanf("%s %s", &a, &b)
	A, B := make([]int, len(a)), make([]int, len(b))
	for i := len(a) - 1; i >= 0; i-- {1 2
		A[len(a)-1-i] = int(a[i] - 48)
	}
	for i := len(b) - 1; i >= 0; i-- {
		B[len(b)-1-i] = int(b[i] - 48)
	}
	fmt.Println(Add(A, B))
}

高精度减法

算法思路

  • 和高精度加法差不多
  • 新建整数t=0，用于保存借位
  • 将各个位置上的数进行相减，得出每一位的结果和借位值

代码

go 复制代码 
package main

import (
	"fmt"
)

// 判断是否有A>=B
func cmp(A, B []int) bool {
	if len(A) != len(B) {
		return len(A) > len(B)
	}

	for i := 0; i < len(A); i++ {
		if A[i] != B[i] {
			return A[i] > B[i]
		}
	}
	return true
}

func Sub(A, B []int) {
	C := make([]int, 0)

	for i, t := 0, 0; i < len(A); i++ {
		t = A[i] - t
		if i < len(B) {
			t -= B[i]
		}
		C = append(C, (t+10)%10)
		if t >= 0 {
			t = 0
		} else {
			t = 1
		}
	}
	for len(C) > 1 && C[len(C)-1] == 0 {
		C = C[:len(C)-1]
	}
	for i := len(C) - 1; i >= 0; i-- {
		fmt.Print(C[i])
	}
}

func main() {
	var a, b string
	fmt.Scanf("%s %s", &a, &b)
	A, B := make([]int, len(a)), make([]int, len(b))
	for i := len(a) - 1; i >= 0; i-- {
		A[len(a)-1-i] = int(a[i] - 48)
	}
	for i := len(b) - 1; i >= 0; i-- {
		B[len(b)-1-i] = int(b[i] - 48)
	}

	if cmp(A, B) {
		Sub(A, B)
	} else {
		fmt.Print("-")
		Sub(B, A)
	}
}

需要注意的点

  • 相减为负数 的处理
    • 需要对a，b的大小进行判断。若a>=b则为正整数，无需处理；若a<b则为负数，需要在输出时加前导"-"
  • 前导0 的处理
    • 在得出逆序的结果数组C后，需要将后边多余的0 去掉，但要注意结果为0的情况

代码技巧

相减后t的处理

  • 当t>=0时，结果为t；当t<0时，结果为10-t(因为借了10)
  • 改写为t=(t+10)%10。用一个式子便可表示。

两个高精度数的大小比较

  • 比较两个数的位数，位数多的数一定大
  • 两个数从前往后比较，若比较的当前位不同，则结果为两者的大小结果

拓展

A B可以为正数或负数该怎么处理？

绝对值相减相加，判断字符串首字符的类型。

  • 正正：直接计算
  • 正负：转化为高精度加法
  • 负负：高精度加法，加前导-

高精度减法

算法思路

  • 和高精度加法差不多
  • 新建整数t=0，用于保存借位
  • 将各个位置上的数进行相减，得出每一位的结果和借位值

代码

go 复制代码 
package main

import (
	"fmt"
)

// 判断是否有A>=B
func cmp(A, B []int) bool {
	if len(A) != len(B) {
		return len(A) > len(B)
	}

	for i := 0; i < len(A); i++ {
		if A[i] != B[i] {
			return A[i] > B[i]
		}
	}
	return true
}

func Sub(A, B []int) {
	C := make([]int, 0)

	for i, t := 0, 0; i < len(A); i++ {
		t = A[i] - t
		if i < len(B) {
			t -= B[i]
		}
		C = append(C, (t+10)%10)
		if t >= 0 {
			t = 0
		} else {
			t = 1
		}
	}
	for len(C) > 1 && C[len(C)-1] == 0 {
		C = C[:len(C)-1]
	}
	for i := len(C) - 1; i >= 0; i-- {
		fmt.Print(C[i])
	}
}

func main() {
	var a, b string
	fmt.Scanf("%s %s", &a, &b)
	A, B := make([]int, len(a)), make([]int, len(b))
	for i := len(a) - 1; i >= 0; i-- {
		A[len(a)-1-i] = int(a[i] - 48)
	}
	for i := len(b) - 1; i >= 0; i-- {
		B[len(b)-1-i] = int(b[i] - 48)
	}

	if cmp(A, B) {
		Sub(A, B)
	} else {
		fmt.Print("-")
		Sub(B, A)
	}
}

需要注意的点

  • 相减为负数 的处理
    • 需要对a，b的大小进行判断。若a>=b则为正整数，无需处理；若a<b则为负数，需要在输出时加前导"-"
  • 前导0 的处理
    • 在得出逆序的结果数组C后，需要将后边多余的0 去掉，但要注意结果为0的情况

代码技巧

相减后t的处理

  • 当t>=0时，结果为t；当t<0时，结果为10-t(因为借了10)
  • 改写为t=(t+10)%10。用一个式子便可表示。

两个高精度数的大小比较

  • 比较两个数的位数，位数多的数一定大
  • 两个数从前往后比较，若比较的当前位不同，则结果为两者的大小结果

拓展

A B可以为正数或负数该怎么处理？

绝对值相减相加，判断字符串首字符的类型。

  • 正正：直接计算
  • 正负：转化为高精度加法
  • 负负：高精度加法，加前导-

高精度除法

算法思路

  • 创建整型变量r保存余数
  • 遍历数组A，当前的被除数就是r*10+A[i]`
  • 将商加入结果数组C，余数即被除数对除数b取余的结果

代码模板

go 复制代码 
package main

import (
	"fmt"
)

func div(A []int, b int) ([]int, int) {
	C := make([]int, 0)
	r := 0
	for i := len(A) - 1; i >= 0; i-- {
		r = r*10 + A[i]
		C = append(C, r/b)
		r %= b
	}
	// 去前导0
	for len(C) > 1 && C[0] == 0 {
		C = C[1:]
	}

	return C, r
}

func main() {
	var a string
	var b int
	fmt.Scanf("%s %d", &a, &b)
	A := make([]int, len(a))
	for i := len(a) - 1; i >= 0; i-- {
		A[len(a)-1-i] = int(a[i] - 48)
	}

	C, r := div(A, b)
	for i := 0; i < len(C); i++ {
		fmt.Print(C[i])
	}
	fmt.Println()
	fmt.Print(r)
}

高精度乘法

高精度×低精度

算法思路

  • 与高精度加法类似
  • 新建整型变量t，用于保存进位
  • 让A上的每一位数字与b相乘

代码

go 复制代码 
package main

import (
	"fmt"
)

func mul(A []int, b int) []int {
	C := make([]int, 0)
	t := 0
	for i := 0; i < len(A) || t > 0; i++ {
		if i < len(A) {
			t += A[i] * b
		}
		C = append(C, t%10)
		t /= 10
	}
	return C
}

func main() {
	var a string
	var b int
	fmt.Scanf("%s %d", &a, &b)
	A := make([]int, len(a))
	for i := len(a) - 1; i >= 0; i-- {
		A[len(a)-1-i] = int(a[i] - 48)
	}
	C := mul(A, b)
	for i := len(C) - 1; i >= 0; i-- {
		fmt.Print(C[i])
	}
}

高精度×高精度

算法思路

  • 新建整型数组C，大小为len(A)+len(B),存储每一位相乘然后再相加 的结果(C[i+j]+=A[i]*B[j])
  • 遍历数组C，进行进位
  • 去前导0

代码

go 复制代码 
package main

import (
	"fmt"
)

func mul(A, B []int) []int {
	C := make([]int, len(A)+len(B))
	// 计算每一位的结果
	for i := 0; i < len(A); i++ {
		for j := 0; j < len(B); j++ {
			C[i+j] += A[i] * B[i]
		}
	}

	//进行进位
	for i, t := 0, 0; i < len(C); i++ {
		t += C[i]
		C[i] = t % 10
		t /= 10
	}

	// 去掉前导0
	for len(C) > 1 && C[len(C)-1] == 0 {
		C = C[:len(C)-1]
	}
	return C
}

func main() {
	var a, b string
	fmt.Scanf("%s %s", &a, &b)
	A, B := make([]int, len(a)), make([]int, len(b))
	for i := len(a) - 1; i >= 0; i-- {
		A[len(a)-1-i] = int(a[i] - 48)
	}
	for i := len(b) - 1; i >= 0; i-- {
		B[len(b)-1-i] = int(b[i] - 48)
	}
	C := mul(A, B)
	for i := len(C) - 1; i >= 0; i-- {
		fmt.Print(C[i])
	}
}
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