数据结构树及实现

一、树的概念

树(Tree)是n(n≥0)个节点的有限集合T,它满足两个条件 :

有且仅有一个特定的称为根(Root)的节点;

其余的节点可以分为m(m≥0)个互不相交的有限集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集合又是一棵树,并称为其根的子树

表示方法 :树形表示法、目录表示法。

一个节点的子树的个数称为该节点的度数

一棵树的度数是指该树中节点的最大度数。

度数为零的节点称为树叶或终端节点

度数不为零的节点称为分支节点

除根节点外的分支节点称为内部节点。

一个节点系列k1,k2, ......,ki,ki+1, ......,kj,并满足ki是ki+1的父节点,就称为一条从k1到kj的路径

路径的长度为j-1,即路径中的边数。

路径中前面的节点是后面节点的祖先,后面节点是前面节点的子孙。

节点的层数等于父节点的层数加一,根节点的层数定义为一。树中节点层数的最大值称为该树的高度或深度。

若树中每个节点的各个子树的排列为从左到右,不能交换,即兄弟之间是有序的,则该树称为有序树。

m(m≥0)棵互不相交的树的集合称为森林。

树去掉根节点就成为森林,森林加上一个新的根节点就成为树。

二、树的逻辑结构

树中任何节点都可以有零个或多个直接后继节点(子节点),但至多只有一个直接前趋节点(父节点),根节点没有前趋节点,叶节点没有后继节点。

三、二叉树

二叉树是n(n≥0)个节点的有限集合或者是空集(n=0)或者是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。严格区分左孩子和右孩子,即使只有一个子节点也要区分左右。

四、二叉树的性质

二叉树第i(i≥1)层上的节点最多为2i-1个。

深度为k(k≥1)的二叉树最多有2k-1个节点。

满二叉树 :深度为k(k≥1)时有2k-1个节点的二叉树。

完全二叉树 :只有最下面两层有度数小于2的节点,且最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上。

具有n个节点的完全二叉树的深度为(log2n)+1或『log2(n+1)。

五、顺序存储结构

完全二叉树节点的编号方法是从上到下,从左到右,根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n,某节点编号为i

当i>1(不是根节点)时,有父节点,其编号为i/2;

当2*i≤n时,有左孩子,其编号为2*i ,否则没有左孩子,本身是叶节点;

当2*i+1≤n时,有右孩子,其编号为2*i+1 ,否则没有右孩子;

当i为奇数且不为1时,有左兄弟,其编号为i-1,否则没有左兄弟;

当i为偶数且小于n时,有右兄弟,其编号为i+1,否则没有右兄弟;

有n个节点的完全二叉树可以用有n+1个元素的数组进行顺序存储,节点号和数组下标一一对应,下标为零的元素不用。

利用以上特性,可以从下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树,然后用数组存储,这要浪费一些存储空间。

六、二叉树的遍历

遍历 :沿某条搜索路径周游二叉树,对树中的每一个节点访问一次且仅访问一次。

二叉树是非线性结构,每个结点有两个后继,则存在如何遍历即按什么样的搜索路径进行遍历的问题。

由于二叉树的递归性质,遍历算法也是递归的。三种基本的遍历算法如下 :

先访问树根,再访问左子树,最后访问右子树;

先访问左子树,再访问树根,最后访问右子树;

先访问左子树,再访问右子树,最后访问树根;

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