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章节内容
上节我们完成了如下的内容：
- 多重共线性 矩阵满秩
- 线性回归算法
岭回归和Lasso
岭回归（Ridge Regression）和Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）是两种用于处理多重共线性问题的正则化回归方法。这两种方法通过添加正则化项（或惩罚项）来约束模型，使其在变量多、数据噪声大或者存在多重共线性（即自变量之间高度相关）的情况下，能够提高模型的泛化能力和预测效果。
岭回归的原理
岭回归是在普通线性回归的基础上加入了L2正则化项，使得模型更鲁棒。具体来说，岭回归的损失函数是普通最小二乘法的损失函数与一个L2正则化项之和。该正则化项是回归系数的平方和可以在极小化损失的同时，约束回归系数的大小，避免其过大从而导致模型过拟合。
Lasso回归的原理
Lasso回归与岭回归的主要区别在于它加入的是L1正则化项，即系数的绝对值之和Lasso回归的正则化项会迫使某些系数变为0，因此它可以在进行预测的同时，自动进行变量筛选，较岭回归更能减少特征数。
解决方式
解决共线性的问题的方法主要有以下三种：
- 其一是在建模之前对各特征进行相关性检验，若存在多重共线性，则可以考虑进一步对数据集进行 SVD 分解或 PCA 主成分分析，在 SVD 或 PCA 执行的过程中会对数据集进行正交交换，最终所得数据集各列将不存在任务任何相关性。当然此举会对数据集的结构进行改变，且各列特征变得不可解释。
- 其二则是采用逐步回归的方法，以此选取对因变量解释力度最强的自变量，同时对于存在相关性的自变量加上一个惩罚因子，削弱其对因变量的解释力度，当然该方法不能完全避免多重共线性的存在，但能够绕过最小二乘法对共线性较为敏感的缺陷，构建线性回归模型。
- 其三则是在原有算法基础上进行修改，放弃对线性方程参数无偏估计的苛刻条件，使其能够容忍特征列存在多重共线性的情况，并且能够顺利建模，且尽可能的保证 SSE 取得最小值。
通常来说，能够利用一个算法解决的问题尽量不用多个算的组合来解决，因此此处我们主要考虑后两个方案，其中逐步回归我们将放在线性回归的最后一部分进行讲解，而第三个解决方案，则是我们接下来需要详细讨论的岭回归算法和 Lasso 算法。
岭回归和Lasso回归在加入正则化项的方式上有所不同，从而影响模型的选择和应用。岭回归更适合用于避免系数过大而导致的过拟合，而Lasso在特征选择方面更有优势，因此通常在高维数据中表现更佳。在实际应用中，可以通过交叉验证来选择最适合的正则化参数并在岭回归和Lasso之间做出选择，或者结合两者（Elastic Net）以获得更好的模型效果。
岭回归
基本原理
岭回归算法实际上是针对线性回归算法局限性的一个改进类算法，优化目的是解决系数矩阵XTX不可逆的问题，客观上同时也起到了克服数据集存在多重共线性的情况，而岭回归的做法也非常简单，就是在原方程系数计算公式中添加了一个扰动项，原先无法求广义逆的情况变成了求出其广义逆，使得问题稳定并得以求解。
岭回归在多元线性回归的损失函数上加上了正则项，表达为系数 w 的 L2 范式（即系数 w 的平方项）乘以正则化系数 λ，岭回归的损失函数的完整表达式写作：
我们仍然可以使用最小二乘法求解，可得：
此举看似简单，实则非常精妙，用一个满秩的对角矩阵和原系数矩阵计算进行相加的，实际上起到了两个作用，其一是使得最终运算结果（XTX + λI）满秩，即降低了原数据集特征列的共线性影响，其二也相当于对所有的特征列的因变量解释程度进行了惩罚，且λ越大惩罚作用越强。
现在，只要（XTX + λI）存在逆矩阵，我们就可以求解。一个矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是这个矩阵的行列式不为0。假设原本的特征矩阵中存在共线性，则我们的方阵 XTX 就会不满秩（存在完全为零的行）。
此时方阵 XTX 就是没有逆的，最小二乘法就无法使用，加上了λI 之后，我们的矩阵就大不一样了：
最后得到的行列式还是一个梯形行列式，然而它已经不存在全 0 行或者全 0 列了，除非：
- λ 等于 0
- 原本的矩阵 XTX中存在对焦线上元素为 -λ，其他元素都为0 的行或者列
否则矩阵 XTX+λI 永远都是满秩，在 sklearn 中，λ的值我们可以自由的控制，因此我们可以让它不为 0，比避免第一种情况。而第二种情况，如果我们发现某个λ的取值下模型无法求解，那我们只需要更换一个λ的取值就好了，也可以顺利避免。也就是说，矩阵的逆永远存在，有这个保障，我们的 w 就可以写作：
如此，正则化系数λ就避免了精确相关关系带来的影响，至少最小二乘法在λ存在的情况下是一定可以使用。对于存在高度相关关系的矩阵，我们也可以通过调大λ，来让 XTX+λI 矩阵的行列式变大，从而让逆矩阵变小，以此控制参数向量 w 的偏移。当λ越大，模型越不容易受到共线性的影响。
Lasso
基本原理
在岭回归中，对自变量系数进行平方和处理也被称做 L2 正则化，由于此原因，岭回归中自变量系数虽然会很快衰减，但很难归为零，且窜在共线性的时候衰减过程也并非严格递减，这就是为何岭回归能够建模、判断共线性，但很难进行变量筛选的原因。为了弥补岭回归在这方面的不足，Tibshirani（1996）提出了 Lasso（The Least Absolute Shrinkage and Selectiontorperator）算法，将岭回归的损失函数中的自变量系数 L2 正则化修改为 L1 正则化，即 Lasso 回归损失函数为：
我们来看看 Lasso 的计算过程，当我们使用最小二乘法来求解 Lasso 中参数，我们依然对损失函数进行求导：
现在问题又回到了要求 XTX 的逆必须存在，在岭回归中，我们通过正则化系数λ能够向方阵 XTX 加上一个单位矩阵，以此来防止方阵 XTX 的行列式为 0，而现在 L1 范式所带的正则项λ在求导之后并不带有w 这个项，因此它无法对 XTX 造成任何影响。
也就是说，Lasso 无法解决特征之间精确相关的问题，当我们使用最小二乘法求解线性回归时，如果线性回归无解或者报除零的错误，换 Lasso 不能解决任何问题。
不过，在现实中我们其实会比较少遇到精确相关的多重共线性问题，大部分多重共线性问题应该时高度相关，而如果我们假设方阵 XTX 的逆是一定存在的，那我们可以有：
通过增大λ，我们可以为 w 的计算增加一个负项，从而限制参数估计中 w 的大小，而防止多重共线性引起的参数 w 被估计过大导致模型失准的问题，Lasso 不是从根本上解决多重共线性问题，是限制多重共线性带来的影响。