【C++】AVL树 - 技术栈

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AVL树通过维护树的平衡来确保搜索、插入和删除操作的时间复杂度始终为O(log n)，其中n是树中节点的数量。这种自平衡特性使得AVL树在数据量较大时仍然能保持较高的效率。由于AVL树是一种二叉搜索树，它能够快速地定位到任何一个节点。这使得在数据量较大的情况下，查找特定节点的效率很高。

AVL树概念

AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。
AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在，那么增删查改的效率也可以控制在，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

思考⼀下为什么AVL树是高度平衡搜索⼆叉树，要求高度差不超过1，⽽不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？

画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0

AVL树的结构

cpp 复制代码

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode Node;
public:
.........
private:
	Node* _root=nullptr;

AVL树是一种二叉搜索树，先构造AVL树的节点，这里用pair<Key,T>存储键值对数据。前面的map和set文章中讲过键值对。AVL树的节点需要键值对数据，以及左指针、右指针、和链接父亲节点的指针、还得存储平衡因子。后构造这棵AVL树。

AVL树的实现

AVL树的插入

先按照搜索二叉树的规则对所需要的值进行插入。
进行插入后，影响祖先节点的高度，平衡因子肯定会发生变化。平衡因子需要进行更新大致分两种情况，最坏情况下平衡因子需要更新的跟节点才能平衡，另一种情况跟新到中间可能就已经平衡了。
更新平衡因子过程中，没有出现问题就结束了
更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

平衡因子的更新

平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦--
parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：

更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前

parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会

影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说

明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所

在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上

更新。

更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说

明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼

了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把

parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不

需要继续往上更新，插⼊结束。

cpp 复制代码

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		
		cur = new Node(kv);

		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		//控制平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				parent = cur;
				parent->_parent = parent;
			}
			else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf ==-2)
			{
				//旋转代码
			}
			else if
			{
				return false;
			}
		}
	}

旋转

保持搜索树的规则
让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

右旋

本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景
在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

cpp 复制代码

//右旋
void RtateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;


	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
	{
		subLR->_parent = parent;
	}

	Node* Pparent=parent->_parent;

	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	if (parent==_root)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (Pparent->_left == parent)
		{
			Pparent->_left = subL;
		}
		else
		{
			Pparent->_right=subL
		}

		subL->_parent = Pparent;
	}
	subL->_bf = 0;
	parent->_bf = 0;	
}

subL为父节点的左节点，subLR为为父节点左节点的右节点。如果subLR不为空，父节点的左指针链接subLR。找到父节点的父节点（下面称为祖父节点），让subL的右指针链接父节点，父节点的父节点链接subL。让subL节点成为新的父节点，之前的父节点成为了subL的孩子。

左旋

在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

cpp 复制代码

void RtateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
	{
		subRL->_parent = parent;
	}

	Node* Pparent = parent->_parent;

	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	if (parent == _root)
	{
		subR = _root;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (Pparent->_left == parent)
		{
			Pparent->_left = subR;
		}
		else
		{
			Pparent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = Pparent;
	}

	subR->_bf = 0;
	parent->_bf = 0;
}

步骤与右旋相同，只是换了一个方向。

左右双旋

左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的

细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单

旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通

过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因

⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋

转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

cpp 复制代码

if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
				RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
				RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
				RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
				RotateRL(parent);
}

cpp 复制代码

	void RtateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	//右左双旋
	void RtateLR(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

AVL树的实现的代码

cpp 复制代码

#include<iostream>
using namespace std;

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		
		cur = new Node(kv);

		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		//控制平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				parent = cur;
				parent->_parent = parent;
			}
			else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf ==-2)
			{
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}

				break;
			}
			else if
			{
				return false;
			}
		}
	}

	//右旋
	void RtateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;


		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}

		Node* Pparent=parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent==_root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (Pparent->_left == parent)
			{
				Pparent->_left = subL;
			}
			else
			{
				Pparent->_right=subL
			}

			subL->_parent = Pparent;
		}
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;	
	}
	//左旋
	void RtateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}

		Node* Pparent = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			subR = _root;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (Pparent->_left == parent)
			{
				Pparent->_left = subR;
			}
			else
			{
				Pparent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = Pparent;
		}

		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	//左右双旋
	void RtateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	//右左双旋
	void RtateLR(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};