决定系数，也称为 R 平方，是一种用于衡量回归模型预测效果的统计指标。它表示了模型解释目标变量总变异的程度，数值介于 0 和 1 之间，数值越接近 1 表明模型的解释力越强。
1. 
的定义和公式
的公式如下：
其中：
从公式可以看出， 表示残差平方和占总平方和的比例。换句话说，
越接近 1，表示模型的预测越接近真实值，模型解释越充分。
2. 的计算步骤
计算 的步骤如下：
- 计算真实值的平均值
- 计算残差平方和
- 计算总平方和
- 计算
3. 的解释和意义
- 解释度 ：
- 值域 ：
- 负值的情况 ：在某些情况下，当模型预测效果极差时（例如，模型欠拟合），
4. 的优缺点
优点
- 直观解释 ：
- 适用性广：广泛应用于回归模型的效果评价。
缺点
- 对样本大小敏感 ：在小样本数据中，
- 对异常值敏感 ：由于平方的存在，
- 无法区分方向性：仅仅反映解释力，不反映模型预测的方向性，容易掩盖预测偏差。
5. 的应用
在回归分析、机器学习和经济学等领域， 是一种常用的评价指标。其应用场景包括：
- 回归模型效果评价：常用于衡量线性回归、多项式回归等模型的解释力。
- 经济和金融数据分析：例如评估某些经济指标对 GDP 增长的解释力。
- 机器学习模型调优：用于评估模型的拟合程度，帮助选择合适的模型或调参。
6. 与其他误差指标的对比
| 指标 | MAE、RMSE | |
|---|---|---|
| 计算方式 | 残差平方和和总平方和之比 | 绝对误差或平方误差 |
| 值域 | [0, 1]（可能为负数） | 非负值 |
| 异常值敏感性 | 高 | MAE 低，RMSE 高 |
| 解释力 | 表示模型解释的变异比例 | 表示模型预测误差的均值 |
7.Python 实现代码
以下是计算 的 Python 代码：
python
import numpy as np
def r2_score(y_true, y_pred):
ss_res = np.sum((y_true - y_pred) ** 2)
ss_tot = np.sum((y_true - np.mean(y_true)) ** 2)
return 1 - (ss_res / ss_tot)
# 示例
y_true = np.array([3, -0.5, 2, 7])
y_pred = np.array([2.5, 0.0, 2, 8])
result = r2_score(y_true, y_pred)
print("R^2:", result)说明
y_true是真实值的数组，y_pred是预测值的数组。ss_res是残差平方和，表示误差的总量。ss_tot是总平方和，表示目标变量的总变异。1 - (ss_res / ss_tot)得出
图中 的值接近 1 表示模型的预测接近真实值，具有较高的解释力。
8. 图解示例
下面将生成一个包含 计算图解的图示，以便更清楚地理解
在模型解释力上的作用。
上图展示了 的计算过程，其中：
- 蓝色圆点连线表示真实值
- 红色叉点连线表示模型的预测值
- 每条灰色虚线表示预测值与真实值之间的差距，即残差。
python
# Re-import necessary libraries due to session context reset
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Generate sample data for illustration
np.random.seed(0)
x = np.linspace(0, 10, 10)
y_true = 2 * x + 1 # True relationship (e.g., ground truth values)
y_pred = y_true + np.random.normal(0, 2, 10) # Predicted values with random noise
# Calculate R^2
ss_res = np.sum((y_true - y_pred) ** 2) # Residual sum of squares
ss_tot = np.sum((y_true - np.mean(y_true)) ** 2) # Total sum of squares
r2_value = 1 - (ss_res / ss_tot)
# Plotting true vs predicted values and lines indicating residuals
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y_true, label="True Values", color="blue", marker='o')
plt.plot(x, y_pred, label="Predicted Values", color="red", marker='x')
plt.hlines(np.mean(y_true), x[0], x[-1], colors='green', linestyles='dashed', label='Mean of True Values')
# Add residual lines
for i in range(len(x)):
plt.plot([x[i], x[i]], [y_true[i], y_pred[i]], color='gray', linestyle='dotted')
# Adding text and labels
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title(f"Illustration of R² (Coefficient of Determination)\nR² = {r2_value:.2f}")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()为了更直观地理解 ，我们可以用一个散点图展示真实值和预测值的分布：
- 绘制真实值与预测值的散点图：展示所有数据点的真实值与预测值之间的差异。
- 展示总平方和 (TSS)：每个数据点到真实值均值的垂直线表示目标变量的总变异。
- 展示残差平方和 (RSS)：每个数据点到预测值的垂直线表示模型预测误差。
- 理解解释力 ：图中