单相锁相环，原理与Matlab实现

单相锁相环基本原理

单相锁相环的基本原理图如下所示， u α u_\alpha uα u β u_\beta uβ经Park变换、PI控制实现对角频率 ω \omega ω和角度 θ \theta θ的估算。不同锁相环方案之间的差异，主要表现在正交电压 u β u_\beta uβ的生成，以下对几种常见方案进行介绍。

延时正交方案

一种比较直观的方案，是对输入信号 u α u_\alpha uα延时四分之一个周期从而构建正交信号 u β u_\beta uβ，如下所示：

仿真结果如下：

全通滤波器正交方案

此外，还可以利用全通滤波器在特定频率 ω 0 \omega_0 ω0处产生-90度相位的特点，构建正交信号。全通滤波器传递函数如下：
H ( s ) = − s + ω 0 s + ω 0 H\left( s \right) = \frac{{ - s + {\omega _0}}}{{s + {\omega _0}}} H(s)=s+ω0−s+ω0

全通滤波器波特图验证如下：

波特图代码为：

matlab 复制代码

Ca = tf([-1 2*pi*50],[1 2*pi*50])
bode(Ca)

对应的仿真框图如下所示（结果图与此前类似，不再展示）：

SOGI正交方案

另一种构建正交的方案，可以采用二阶积分的形式，同时考虑对 u α u_{\alpha} uα进行带通滤波，对应的传递函数如下：

{ H α ( s ) = k ω 0 s s 2 + k ω 0 s + ω 0 2 H β ( s ) = k ω 0 2 s 2 + k ω 0 s + ω 0 2 \left\{ \begin{aligned} {H_\alpha}\left( s \right) = \frac{{k{\omega _0}s}}{{{s^2} + k{\omega _0}s + {\omega 0}^2}} \\ {H\beta}\left( s \right) = \frac{{k{\omega _0}^2}}{{{s^2} + k{\omega _0}s + {\omega _0}^2}} \\ \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧Hα(s)=s2+kω0s+ω02kω0sHβ(s)=s2+kω0s+ω02kω02

波特图验证如下：

波特图代码如下：

matlab 复制代码

CaAlpha = tf([0.707*2*pi*50 0], [1 0.707*2*pi*50 (2*pi*50)^2]);
CaBeta = tf([0.707*(2*pi*50)^2], [1 0.707*2*pi*50 (2*pi*50)^2]);
bode(CaAlpha,CaBeta)
legend("CaAlpha","CaBeta")

对应的仿真框图如下所示：

Park正交方案

还可以利用，低通滤波+Park反变换，实现正交信号构建，如下所示：

补充说明

本文侧重点是基本的正交信号生成方案，更多锁相环相关技术，如控制参数设计、其他正交方案等，可移步参考文献 $1$ ；
锁相环的数字化实现可移步参考文献 $2$ ，或移步至传递函数离散化方法；

参考文献

$1$ Ciobotaru M , Teodorescu R , Blaabjerg F .A New Single-Phase PLL Structure Based on Second Order Generalized Integrator $J$ .IEEE, 2006.DOI:10.1109/PESC.2006.1711988.

$2$ Han Y , Luo M , Zhao X ,et al.Comparative Performance Evaluation of Orthogonal-Signal-Generators-Based Single-Phase PLL Algorithms---A Survey $J$ .IEEE Transactions on Power Electronics, 2015, 31(5):3932-3944.DOI:10.1109/TPEL.2015.2466631.