蓝桥杯备考——算法

一、排序

冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序、桶排序

二、枚举

三、二分查找与二分答案

四、搜索（DFS）

DFS（DFS基础、回溯、剪枝、记忆化）

1.DFS算法（深度优先搜索算法）

深度优先搜索（ DFS ）是一种用于遍历或搜索图或树 的算法，它从起始节点开始，沿着一条路径一直深入直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点继续探索。 DFS 使用栈来记录遍历的路径，它优先访问最近添加到栈的节点。

DFS 的主要优点是简单且易于实现，它不需要额外的数据结构来记录节点的访问情况，仅使用栈来存储遍历路径。然而， DFS 可能会陷入无限循环中，因为它不考虑节点是否已经访问过。

对于一个连通图，深度优先搜索遍历的过程如下：

（1）从图中某个顶点v出发，访问v；

（2）找到刚访问过的顶点 的第一个未被访问的邻接点，访问该顶点。以该顶点为新顶点，重复此步骤，直至刚访问过的顶点没有未被访问的邻接点为止。

(3)返回前一个访问过的且仍有未被访问的邻接点的顶点，找出该顶点的下一个未被访问的邻接点，访问该顶点。

(4)重复步骤 (2) 和(3), 直至图中所有顶点都被访问过，搜索结束。

顶点访问序列：v1 -> v2 -> v4 -> v8 -> v5 -> v3 -> v6 -> v7

DFS 使用栈来记录遍历的路径，它优先访问最近添加到栈的节点。

显然，深度优先搜索遍历连通图 是一个递归的过程。为了在遍历过程中便千区分顶点是否已

被访问，需附设访问标志数组 visited[n] , 其初值为 "false", 一旦某个顶点被访问，则其相应的分

量置为 "true"。

python语言：

cpp 复制代码

# 图的DFS遍历
def dfs(graph, start, visited):
    # 访问当前节点
    print(start, end=' ')
    # 标记当前节点为已访问
    visited[start] = True
    # 遍历当前节点的邻居节点
    for neighbor in graph[start]:
        # 如果邻居节点未被访问，则继续深度优先搜索
        if not visited[neighbor]:
            dfs(graph, neighbor, visited)

# 图的邻接表表示
graph = {
    '1': ['2', '3'],
    '2': ['2', '4', '5'],
    '3': ['1', '6', '7'],
    '4': ['2','8'],
    '5': ['2','8'],
    '6': ['3','7'],
    '7': ['3','6'],
    '8': ['4','5']
}

# 标记节点是否已访问的列表
visited = {node: False for node in graph}

# 从节点A开始进行DFS遍历
print("DFS遍历结果：")
dfs(graph, '1', visited)

C++ / C语言：

算法1.深度优先搜索遍历连通图

cpp 复制代码

// 1. 深度优先搜索遍历连通图
bool visited[MVNum];         // 访问标志数组，其初值设为"false"
void DFS(Graph G, int v)
{    // 从第v个顶点出发 递归地深度优先遍历图G
    cout << v; visited[v] = true;
    for (w=FirstAdjVex(G,v); w>=0; w=NextAdjVex(G,v,w))
        // 依次检查v的所有邻接点w，FirstAdjVex(G,v)表示v的第一个邻接点
        // NextAdjVex(G,v,w)表示v相对于w的下一个邻接点，w>=0表示存在邻接点
        if (!visited[w])    DFS(G,w);      // 对v的尚未访问的邻接点w递归调用DFS
}

算法2.深度优先搜索遍历非连通图

若是非连通图，上述遍历过程执行之后，图中一定还有顶点未被访间，需要从图中另选

一个未被访问的顶点作为起始点，重复上述深度优先搜索过程，直到图中所有顶点均被访问

过为止。这样，要实现对非连通图的遍历，需要循环调用算法 1, 具体实现如算法 2所示。

cpp 复制代码

void DFSTraverse(Graph G) 
{ //对非连通图G做深度优先遍历
    for(v=O;v<G.vexnum;++v)    visited[v]=false;    // 访问标志数组初始化
    for(v=O;v<G.vexnum;++v)     // 循环调用算法1
        if(!visited[v])    DFS(G,v);     // 对尚未访问的顶点调用DFS
}

算法 3 采用邻接矩阵表示图的深度优先搜索遍历

cpp 复制代码

void DFS_AM(AMGraph G,int v) 
{    // 图G为 邻接矩阵类型，从第v个顶点出发深度优先搜索遍历图G
    cout<<v; visited[v]=true;     // 访问第v个顶点，并置访问标志数组相应分址值为true
    for(w=O; w<G.vexnum; w++)     // 依次检查邻接矩阵 v所在的行
        if((G.arcs[v][w] !=O) && (!visited[w]))    DFS(G,w);  //G.arcs[v][w] ! =0表示w是v的邻接点， 如果w未访问， 则递归调用DFS
}

算法 4 采用邻接表表示图的深度优先搜索遍历

cpp 复制代码

void DFS_AL (ALGraph G,int v) 
{    //图G为 邻接表 类型， 从第v个顶点出发深度优先搜索遍历图G
    cout<<v; visited[v]=true;  // 访问第v个顶点，并置访问标志数组相应分量值为true
    p=G.vertices[v] .firstarc;   //p指向v的边链表的第一个边结点
    while(p!=NULL)     // 边结点非空
    {
        w=p->adjvex;           // 表示w是v的邻接点
        if(!visited[w])    DFS(G,w);    // 如果w未访问， 则递归调用DFS
        p=p->nextarc;         //p指向下一个边结点
    }
}

例题：1.最大连通

问题描述：（填空题）

小兰有一个30行60列的数字矩阵，矩阵中的每个数都是0或1。

cpp 复制代码

110010000011111110101001001001101010111011011011101001111110

010000000001010001101100000010010110001111100010101100011110 

001011101000100011111111111010000010010101010111001000010100 

101100001101011101101011011001000110111111010000000110110000 

010101100100010000111000100111100110001110111101010011001011 

010011011010011110111101111001001001010111110001101000100011 

101001011000110100001101011000000110110110100100110111101011 

101111000000101000111001100010110000100110001001000101011001 

001110111010001011110000001111100001010101001110011010101110 

001010101000110001011111001010111111100110000011011111101010 

011111100011001110100101001011110011000101011000100111001011 

011010001101011110011011111010111110010100101000110111010110 

001110000111100100101110001011101010001100010111110111011011 

111100001000001100010110101100111001001111100100110000001101 

001110010000000111011110000011000010101000111000000110101101 

100100011101011111001101001010011111110010111101000010000111 

110010100110101100001101111101010011000110101100000110001010 

110101101100001110000100010001001010100010110100100001000011 

100100000100001101010101001101000101101000000101111110001010 

101101011010101000111110110000110100000010011111111100110010 

101111000100000100011000010001011111001010010001010110001010 

001010001110101010000100010011101001010101101101010111100101 

001111110000101100010111111100000100101010000001011101100001 

101011110010000010010110000100001010011111100011011000110010 

011110010100011101100101111101000001011100001011010001110011 

000101000101000010010010110111000010101111001101100110011100 

100011100110011111000110011001111100001110110111001001000111 

111011000110001000110111011001011110010010010110101000011111 

011110011110110110011011001011010000100100101010110000010011 

010011110011100101010101111010001001001111101111101110011101

如果从一个标为1的位置可以通过上下左右走到另一个标为1的位置，则称两个位置连通。与某一个标为1的位置连通的所有位置（包括自己）组成一个连通分块。

请问矩阵中最大的连通分块有多大？

答案：

cpp 复制代码

import os
import sys


def dfs(x, y, num): # x,y是当前的位置，num是最大连通的数量
    vis[x][y] = 1   # 表明这个位置已经被搜素过了
    for dx,dy in [(1, 0), (-1, 0), (0,1), (0, -1)]:   # 标准的上下左右搜索
        current_x = x + dx
        current_y = y + dy
        if 0 <= current_x < 30 and 0 <= current_y <60:  # 边界限制
            try:
                if vis[current_x][current_y] != 1 and data[current_x][current_y] == '1':  # 上下左右有位置没有被探索同时还是字符串的'1'
                    num = dfs(current_x,current_y,num)
            except:   # 这里是方便找到如果输入错误是在哪，用来检查循环条件是否写错
                print(current_x)
                print(current_y)
    return num + 1    # 本身的1加上所有与它相连的num

data =[
"110010000011111110101001001001101010111011011011101001111110",

"010000000001010001101100000010010110001111100010101100011110",

"001011101000100011111111111010000010010101010111001000010100",

"101100001101011101101011011001000110111111010000000110110000",

"010101100100010000111000100111100110001110111101010011001011",

"010011011010011110111101111001001001010111110001101000100011",

"101001011000110100001101011000000110110110100100110111101011",

"101111000000101000111001100010110000100110001001000101011001",

"001110111010001011110000001111100001010101001110011010101110",

"001010101000110001011111001010111111100110000011011111101010",

"011111100011001110100101001011110011000101011000100111001011",

"011010001101011110011011111010111110010100101000110111010110",

"001110000111100100101110001011101010001100010111110111011011",

"111100001000001100010110101100111001001111100100110000001101",

"001110010000000111011110000011000010101000111000000110101101",

"100100011101011111001101001010011111110010111101000010000111",

"110010100110101100001101111101010011000110101100000110001010",

"110101101100001110000100010001001010100010110100100001000011",

"100100000100001101010101001101000101101000000101111110001010",

"101101011010101000111110110000110100000010011111111100110010",

"101111000100000100011000010001011111001010010001010110001010",

"001010001110101010000100010011101001010101101101010111100101",

"001111110000101100010111111100000100101010000001011101100001",

"101011110010000010010110000100001010011111100011011000110010",

"011110010100011101100101111101000001011100001011010001110011",

"000101000101000010010010110111000010101111001101100110011100",

"100011100110011111000110011001111100001110110111001001000111",

"111011000110001000110111011001011110010010010110101000011111",

"011110011110110110011011001011010000100100101010110000010011",

"010011110011100101010101111010001001001111101111101110011101"]
res = 0
vis = [[0 for i in range(60)] for j in range(30)]   # 标记数组
for i in range(30):  # i和j是位置
    for j in range(60):
        if data[i][j] == '1' and vis[i][j] == 0:
            num = 0
            num = dfs(i,j,num)
            res = max(num, res)
print(res)

例题2.

2. 广度优先搜索（ BFS ）算法

是一种用于遍历或搜索图或树 的算法，它从起始节点开始，逐层地向外扩展，先访问当前节点的所有邻居节点，然后再访问邻居节点的邻居节点，直到遍历完所有节点。

BFS 使用队列来记录遍历的路径，它优先访问最早添加到队列的节点。 BFS 的主要优点是能够找到起始节点到目标节点的最短路径，因为它是逐层遍历的。

python语言

cpp 复制代码

from collections import deque

# 图的BFS遍历
def bfs(graph, start):
    # 使用队列来记录遍历路径
    queue = deque([start])
    # 标记节点是否已访问的集合
    visited = set([start])

    while queue:     # 当栈不为空
        node = queue.popleft()    # 左端出栈
        print(node, end=' ')

        for neighbor in graph[node]:
            if neighbor not in visited:
                queue.append(neighbor)    # 右端进栈
                visited.add(neighbor)

# 图的邻接表表示
graph = {
    '1': ['2', '3'],
    '2': ['2', '4', '5'],
    '3': ['1', '6', '7'],
    '4': ['2','8'],
    '5': ['2','8'],
    '6': ['3','7'],
    '7': ['3','6'],
    '8': ['4','5']
}

# 从节点A开始进行BFS遍历
print("BFS遍历结果：")
bfs(graph, '1')      # 1 2 3 4 5 6 7 8

python: collections模块------双向队列（deque）

类似于list的容器，可以快速的在队列头部和尾部添加、删除元素

3. DFS 与 BFS 的对比

DFS 和 BFS 是两种不同的图遍历算法，在不同的应用场景下具有不同的优势：

DFS 适用于找到起始节点到目标节点的路径，但不一定是最短路径。它通过递归的方式深入探索图的分支，因此对于深度较小的图或树， DFS 通常表现较好。
BFS 适用于找到起始节点到目标节点的最短路径。它通过逐层遍历图的节点，从而保证找到的路径是最短的。在需要寻找最短路径的情况下， BFS 是更好的选择